线性代数综合测试3.doc

线性代数（经管类）综合试题三 （课程代码 4184） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.当( )成立时，阶行列式的值为零.( D ) A.行列式主对角线上的元素全为零 B.行列式中有个元素等于零 C.行列式至少有一个阶子式为零 D.行列式所有阶子式全为零 2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是 ( B ). A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E 3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( D ). A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1 C. (AB)T=ATBT D. 4.下列矩阵不是初等矩阵的是 (B ). A. B. C. D. 5.设是4维向量组，则 ( D ). A.线性无关 B.至少有两个向量成比例 有一个向量能由其余向量线性表示 可由线性表示 m×n矩阵，且mn，则齐次线性方程组Ax = o必 (C ). A.无解 B.只有唯一零解 C.有非零解 D.不能确定 7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又 是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是( D ). A. B. C. D. 8.如果矩阵与满足，则矩阵与相似. A.有相同的行列式有相同的特征多项式 有相同的秩有相同的特征值且这些特征值各不相同 设是阶实对称矩阵，则是正定矩阵的充要条件是. A. |A|0 B. A的每一个元素都大于零 D. A的. A. A与B相似 B. A与B合同 C. A与B等价 D.|A|=|B| 二、填空题（本大题共小题，每小题2分，共分）1.行列式 . 12.设为三阶矩阵，，将矩阵按列分块为，其中是的第列， . 13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X= . 14.已知向量组的秩为2，则 -2 . 15.向量的长度= . 16.向量在基下的坐标为 (3,-4,3) . 17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 . 18.设是三阶矩阵的特征值，则 1 . 19.若是正定二次型，则满足 . . 三、计算题（本大题共6小题，每小题分，共分） 1.设三阶矩阵，为三阶单位矩阵.求矩阵及. .解：(1) A-2E= | A-2E |= -1； (2) . 22.已知向量组 求向量组的秩； 向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. .(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换： . 所以，向量组的秩； (2)向量组的一个极大无关组为：， 且有. 23.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的解. . .解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换： 若方程组有解，则，从而a=1. 当a=1时，原方程组的通解方程组为： ，为自由未知量. 令，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T. 导出组的同解方程组为：，为自由未知量. 令分别取得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T. 所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T+c1(0, 1, 1, 0)T+c2(-4, 1, 0, 1)T，其中，c1，c2为任意常数. 24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性. 解：因为. 当a=2或a=-6时，向量组相性相关； 当a≠2且a≠-6时，向量组线性无关. 25.已知矩阵， 1)求矩阵的特征值与特征向量； 2)判断可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵及相应的对角形矩阵Λ. A的特征多项式为： ， 所以，A的特征值为：. 对于，求齐次线性方程组的基础解系， ，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：，(c≠0). 对于，求齐次线性方程组的基础解系， ，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： . 因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以， A不能相似于对角矩阵.