线性代数辅导与习题.doc

行列式 本章重点：计算二阶、三阶行列式的对角线法则；逆序数的概念； 阶行列式的定义与性质；代数余子式的定义与性质；利用行列式的性质计算阶行列式；运用克拉默法则解含个未知数的个线性方程的方程组。 本章难点：利用行列式的性质化简、计算阶行列式。 基础题 1、利用对角线法则计算下列行列式： （1） ； （2） 。 2、按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）2 4 6 1 3 5； （2）2 4 6 1 。 3、写出五阶行列式中含因子的项。 4、计算下列各行列式： （1）； （2）； （3）。 5、解方程 。 6、证明： （1）若，则； （2） ； （3）。 7、计算下列行列式： (1) , 其中次对角线上的元素全是,未写出的元素全是0. ； (2) ， 其中 ； (3) , ； (4) ； ８、设行列式，求。 9、用克拉默法则解方程组 。 10、当为何值时，非齐次线性方程组 ， 有唯一解？ 11、当为何值时，齐次线性方程组 ， 只有零解。 12、求方程的实根。 选做题 1、四阶行式 的值等于 、 ； 、； 、； 、 2、= 3、 = 4、方程=0 的全部根为 矩阵及其运算 本章重点：矩阵的概念，知道一些特殊矩阵如零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵的特殊性；矩阵的转置；矩阵的线性运算；矩阵与矩阵的乘法；方阵的行列式及其运算规律。 可逆矩阵的概念、性质及其矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵的概念和性质，用伴随矩阵求矩阵的逆。 矩阵的分块与运算；矩阵的行向量组与列向量组。 本章难点：矩阵的线性运算（加法与数与矩阵的乘法）；矩阵与矩阵的乘法；方阵的行列式及其运算规律。 基础题 计算乘积 （1） ，计算； （2） 。 2、已知，，且，求。 = 3、举反例说明下列命题是错误的： （1）； （2）； （3）； （4）若，则； （5）若，则或； （6）若，且则。 4、设为矩阵，若矩阵，都有成立，证明。 5、设为阶矩阵, 为奇数,且满足, , 则。 6、设、为阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是。 7、设 ， 求。 8、设为阶可逆对称矩阵, 为阶对称矩阵。当可逆时，证明 是对称矩阵。 9、求下列矩阵的逆矩阵； （1） （）； （2） 10、若, 且, 求。 11、利用逆矩阵求解线性方程组 。 12、已知线性变换 ， 求从变量 到变量 的线性变换 13、设为3阶矩阵，， 求。 14、设=2 ，=，求， 。 15、已知矩阵，且，求矩阵。 16、设，是四阶方阵，且，，计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 17、设，，求。 18、已知矩阵的伴随矩阵, 且, 求。 19、设，是阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别是，，求证。 20、设是阶可逆矩阵，求证其伴随矩阵的逆阵存在， 且。 21、已知矩阵， 求。 22、已知阶矩阵的伴随矩阵是，证明 （1）若 ，则； （2）。 23、证明 = 。 24、设， 求、。 25、设阶矩阵及阶矩阵都可逆，求 （1）； （2）。 26、求逆矩阵 。 27、计算 。 选做题 求矩阵 的逆。 设为阶方阵，且，则 设矩阵，，其中均为4维列向量，且，，则行列式 设阶方阵、、满足关系式，则必有 （）、； （）、； （）、； （）、。 5、设为阶矩阵，满足，且，求。 6、设为阶可逆方阵，将的第行和第列对换后得到的矩阵记为。 （1）证明可逆； （2）求。 7、设矩阵的伴随矩阵 且，其中为4阶单位矩阵，求矩阵。 8、设矩阵= ， 矩阵满足，则= 。 设