线性空间的结构和性质.doc

《线性空间的结构和性质》 简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。 域的概念： 首先介绍数域的概念：设F是至少包含两个数的数集，如果F中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是F中的数，则称F为一个数域。常见的数域有：复数域C、实数域R、有理数域Q，但是自然数集N和整数集Z都不是数域。 　　 以下是线性空间严格的定义：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z＝x＋y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y＝kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间． 　 也就是说设F是一个非空集合，P是一个数域，在F中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算对F来说是封闭的，也就是说，对F中的任意两个元素a，b，a+b和ab仍属于F，如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称F对所规定的加法和乘法运算作成一个域： 1.（加法交换律）对F中任意两个元素a，b，有 a+b=b+a 2.（加法结合律）对F中任意三个元素a，b，c，有 (a+b)+c=a+(b+c) 3.（存在0元）F中存在一个元素，我们把它记作0，使得对F中的任意元素a，有 a+0=a 4.（存在负元）对F中的任意元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作-a，有 a+(-a)=0 5.（乘法交换律）对F中任意两个元素a，b ab=ba 6.（乘法结合律）对F中任意元素a，P中元素b，c，有 (ab)c=a(bc) 7.（存在单位元）F中存在一个≠0的元素，我们把它记作e，使得对F中的任意元素a，有 ae=a 8.（存在逆元）对F中任意≠0的元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作a‘(因为这里显示不了a的负一次方，所以用a’代替)，有 aa=e 9.（乘法对加法的分配律）对F中任意三个元素a，b，c，有 a(b+c)=ab+ac 常见的域有：复数域C、实数域R、有理数域Q，但是自然数集N和整数集Z都不是域。 我们所考虑的对象虽然不同，但是它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。当然，随着对象的不同，其运算也是不同的。但是，当抽去这些集合中对象（元素）的具体形式及定义运算的具体规则（例如函数的加法规则与向量加法的规则是完全不同的。）之后，从代数运算所遵从的规律上看，如果与普通向量上的运算规律并无本质的不同，那么，也可把这些集合中的对象（元素）称为“向量”。当我们把这些对象当作向量之后，所研究的理论或实际问题通常变得非常简便。 线性空间定义 设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间． 1. V对加法成Abel群，即满足： （1）（交换律）x+y=y+x； （2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z） （3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x； （4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0； 2. 数量乘法满足： （5）1x=x； （6）k(lx)=(kl)x； 3. 数量乘法和加法满足： （7）（k+l）x=kx+lx； （8）k（x+y）=kx+ky． 其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。 数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。 当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。　 线性空间的判定方法 1.一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的某一条，则此集合就不能构成线性空间. 2.一个集合，若定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性. 3.一个集合，若定义的加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算，则必须检验是否满足八条线性运算规律.