经济数学基础线性代数综合练习题.doc

2016《线性代数》综合练习 一、选择题 1、 若（ ） （A）2； （B）3； （C）1或2或3； （D）2或3 2、设A、B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。 （A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。 3、设A为阶阵，A的第2行加到第3行后得到矩阵B，则AB-1=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。 4、下列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是（ ）。 （A）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=0的所有向量； （B）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=1的所有向量； （C）Rn中，坐标是整数的所有向量； （D）Rn中，坐标满足x1=1，x2，…， xn可取任意实数的所有向量。 、已知，B为三阶矩阵，且AB=O，则有( ) （A）当y=3x时，r(B)=1 （B）当y=3x时，r(B) (2（C）当y(3x时，r(B)=1（D）当y(3x时，r(B) (2(1，(2，((4是非齐次线性方程组的互不相等的解，则齐次线性方程组AX=O的基础解系（ ） （A）不存在 （B）仅含一个非零解向量, (C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量 7、设非奇异矩阵A各行元素之和为，则矩阵（A2）-1有一个特征值等于（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D）。 8、（A）； （B）； （C）； （D） 二、判断题： 1、（ ）若向量组。 2、（ ）若AB为可逆矩阵，则A、B均为可逆矩阵。 3、（ ）设A为n阶可逆矩阵，则对任意n维实向量b，方程组AX=b总有解。 4、（ ）若A、B均为n阶矩阵，且A与B合同，则A与B有相同的特征多项式。 5、（ ）设A为对称矩阵，且满足A2－5A +4E=O，则A为正定矩阵。 三、填空题 ，的余子式为,代数余子式为,则 。 2、计算行列式 . 3、设A, B 阶方阵, 且 |A|=, |B|=-3, 则 。 、已知A ，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵，（A-2E）-1=、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且（A）=3，其中则Ax=b的通解为 6、设A=(aij)3(3为实正交矩阵，且a13=1，(=(1,0,0)T，则的解为。 、设A为3阶矩阵，为线性无关的3列向量，已知，，，则A的所有特征值为 、设矩阵A=可相似对角化，则x= 。 、 若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的，则t的取值范围是。 二次型正交化为，= ，= 。 四、计算题 1、已知线性方程组，讨论取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示出一般解。讨论m和n各取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示出一般解。、设，求矩阵X，满足。，矩阵B满足等式, 求B。 5、设三维向量空间R3里的两组基分别为(1, (2, (3与(1, (2, (3, 且 (1)求由基β1,β2,β3到基(1, (2, (3的过渡矩阵；(2)若向量η=3(1-(2, 求η关于基β1,β2,β3的坐标。(1, (2, (3与β1,β2,β3, 且 (1)求由基(1, (2, (3到基(1, (2, (3的过渡矩阵； (2)若向量η=3(1-6(2+3(3, 求η在基(1, (2, (3下的坐标。 7、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T是属于λ1 = -2的特征向量。试求：（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量；（2）A的伴随矩阵A*。，, （1）求x,y的值；（2）求正交矩阵Q，使Q-1AQ=B 9、已知二次型，其中a0，经正交替换化为标准形，求a及所用的正交替换。 10、求正交替换将二次型化为标准形，要求写出所用的正交替换及所得的标准形。 五、证明题 1、设有3个非零n阶(n≥3)方阵，满足，且。若分别是的对应于特征值1的特征向量。证明：线性无关。2、 设为阶矩阵，且，