高中数学全程复习方略2122椭圆方程及性质的应用(共63张PPT).pptVIP

中点弦问题 【技法点拨】 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐 标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关 系，具体如下： 已知A（x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 （a b0）上的两个不同的点，M（x0,y0）是线段AB的中点，则 由①-②，得 变形得 即 【典例训练】 1.如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所 在直线的方程为( ) （A）x-2y=0 （B）x+2y- 4=0 （C）2x+3y-12=0 （D）x+2y-8=0 2.已知中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线l:y=3x-2 截得的弦的中点横坐标为 求此椭圆的方程. 【解析】1.选D.椭圆方程可化为9x2+36y2=324.设弦两端点为A(x1,y1），B（x2,y2)，由题得 由 作差得， 将 代入上式，得 即 所以弦所在的直线方程为 即x+2y-8=0. 2.设所求椭圆的方程为 弦两端点为(x1，y1),(x2,y2), c2=a2-b2=50 ① 由 及y=3x-2得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0, 由已知 即 所以a2=3b2 ② 由①②得a2=75,b2=25, 所以椭圆的方程为 【归纳】在解决与弦中点有关的问题时运用的运算方法. 提示:利用根与系数的关系或点差法解决与弦有关的问题时，都是将弦端点的坐标设出来，把这些坐标用整体代入的方法表示出直线的斜率或中点坐标，而不把端点坐标求出来，在运算时要运用这些设而不求、整体代换的技巧. 【变式训练】已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点 间的距离为 若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标 是 求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(0mn)， 弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 由 可得(m+n)x2+2nx+n-1=0，x1+x2= 即n=2m ① 即 ② 由①②解得 所以椭圆的方程为 即 椭圆中的最值问题 【技法点拨】 解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种 （1）利用定义转化为几何问题处理; （2）利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解; （3）利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y 的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解. 【典例训练】 1.设x,y满足 的最大值为_______. 2.若P（x,y）满足 求 的最大值和最小 值． 【解析】1.由题知 所以 又∵x∈［-2,2］,∴当x=-2时，k有最大值9. 答案：9 2. 表示点P与点（4，3）连线的斜率， 则 如图，设过点Q（4,3）的直线 方程为y=k(x-4)+3， 即y=kx+3-4k. 由 消去y得，（1+4k2）x2+8k(3-4k)x+4(3-4k)2-4=0. 令Δ=0， 解得 即 又 的最大值为 最小值为 【规范解答】运用“设而不求”法研究直线和椭圆位 置关系问题 【典例】 (12分)(2012·本溪高二检测)已知椭圆方程为 过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为 原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆分别交于点E，F，若 求直线