高数线性代数第三.pptVIP

第三章 习题课 １　向量的定义 ２　向量的线性运算 ３　线性组合 ４　线性表示 ５　线性相关 ６　向量组的秩 ７　向量空间 ８　子空间 ９　基与维数 9　齐次线性方程组 １0　非齐次线性方程组 １1　线性方程组的解法 典　型　例　题 一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法 第四章　　测试题 测试题答案 证明 　　第一步：对系数矩阵　进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵 　　第三步：将其余　 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系 （２）求非齐次线性方程组的特解 　　将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得 即为所求非齐次线性方程组的一个特解． 一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法 研究这类问题一般有两个方法 方法1　从定义出发 整理得线性方程组 方法２　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 　　　　系判定 例１　研究下列向量组的线性相关性 解一 整理得到 解二 分析 证明 　　　证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是： 分析 　　根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系． 证明 　　求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的． 　　如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组． 　　若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ， 则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的 线性相关性． 解 　　判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间． 解 例６　证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系． 分析 (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示． (1)该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关； 　　　要证明某一向量组是方程组　　　的基础解 系，需要证明三个结论: 证明 　　注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的． * * 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 定义 向量的相等 零向量 分量全为0的向量称为零向量． 负向量 向量加法 数乘向量 　　向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则： 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： 　　若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组． 定义 定义 定理 定义 定义 定理 定理 定义 等价的向量组的秩相等． 定理 　　 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩． 定理 　　　设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩． 推论１ 推论２ 推论３（最大无关组的等价定义） 　　设向量组　是向量组　的部分组，若向量组 　线性无关，且向量组　能由向量组　线性表示， 则向量组　是向量组　的一个最大无关组． 定义 　　　设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且 集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合 为向量空间． 定义 定义 向量方程 解向量 解向量的性质 性质１ 性质２ 定义 定理 定义 向量方程 解向量的性质 性质１ 性质２ 解向量 向量方程　 的解就是方程组 的解向量． （１）求齐次线性方程组的基础解系 * * *