自控讲稿2.doc

第二章：控制系统的数学模型 §2.1 引言 ·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。 ·建模方法 ·本章所讲的模型形式 §2.2控制系统时域数学模型 线性元部件、系统微分方程的建立 L-R-C网络 ── 2阶线性定常微分方程 线性系统特性──满足齐次性、可加性 线性系统便于分析研究。 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 非线性元部件微分方程的线性化。 用拉氏变换解微分方程 （初条件为0） 复习拉普拉斯变换的有关内容 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 复函数 例： （2）复数模、相角 （3）复数的共轭 （4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。 2 拉氏变换定义 3 几种常见函数的拉氏变换 单位阶跃： 指数函数： 正弦函数： 4　拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： （2）微分定理： 零初始条件下有： 例1：求 例2：求 解： （3）积分定理： （证略） 零初始条件下有： 进一步有： 例3：求L[t]=? 解： 例4：求 解： （4）位移定理 实位移定理： 例5： 解： 虚位移定理： （证略） 例6：求 例7： 例8： （5）终值定理（极限确实存在时） 证明：由微分定理 取极限： 　∴有：证毕 例9： 求 例10： 拉氏变换附加作业 已知f(t),求F(s)=? 二．已知F(s),求f(t)=? 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式： (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 微分方程一般形式： 的一般表达式为： （I） 其中分母多项式可以分解因式为： (II) 的根(特征根)，分两种情形讨论： I：无重根时：(依代数定理可以把表示为：) 即：若可以定出来，则可得解：而计算公式： (Ⅲ) (Ⅲ′) (说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) ● 例2： 求 解： ● 例3： ，求 解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) ● 例4： 解法一： （） 解法二： II：有重根时： 设为m阶重根，为单根 .则可表示为： 其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理) ●例5 求 解： 3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ： 解： 举例说明拉氏变换的用途之一 ——解线性常微分方程，引出传函概念。 如右图ＲＣ电路：初条件： 输入 依吉尔霍夫定律： L变换： 依（＊）式可见，影响ＣＲ电路响应的因素有三个： 分析系统时，为在统一条件下衡量其性能 输入都用阶跃，初条件影响不考虑 3:系统的结构参数　――只有此项决定系统性能 零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变） §2-3 线性定常系统的传递函数——上述ＲＣ电路的结论适用于一般情况 一般情况下：线性系统的微分方程： 简单讲一下： 一 .传递函数定义： 条件： 定义： 有关概念：特征式，特征方程，特征根 零点——使的s值 极点——使的s值 ：传递函数，增益，放大倍数→ 结构图——系统的表示方法 G(s)分子分母与相应的微分方程之间的联系： 完全取决于系统本身的结构参数 注(1)为何要规定零初始条件？ 分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统： 输入：都用阶跃输入. 初条件：都规定为零——为确定一个系统的起跑线而定. 则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数) (2) 为何初条件可以为零？ 我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的. 绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态. 零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时) (3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解. 可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解. 二 .传递函数的性质： G(s) : 复函数，是自变量