高等代数§82λ─矩阵的标准形.pptVIP

高等代数课件 * * §第八章 λ─矩阵 §8.2 λ─矩阵的标准形 代数与几何教研室 λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ； 是一个多项式. ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍， 一、λ－矩阵的初等变换 定义： 代表第 行乘以非零数 c ； 代表把第 行(列)的 倍加到第 为了书写的方便，我们采用以下记号 代表 两行(列)互换； 注： 行(列). 将单位矩阵进行一次　―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵. 二、λ－矩阵的初等矩阵 定义： 注： ① 全部初等矩阵有三类： i行 j行 i 行 j行 i 行 ② 初等矩阵皆可逆. ③ 对一个 的 ―矩阵 作一次初等行变换 就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等矩 阵；对 作一次初等列变换就相当于在 　　的右 边乘上相应的 的初等矩阵. 为　－矩阵 ，则称 与 等价. ―矩阵　　 若能经过一系列初等变换化　 1) 　―矩阵的等价关系具有: 反身性: 　与自身等价. 对称性: 与 等价 与 等价. 传递性: 与 等价, 与 等价 与 等价. 三、等价λ－矩阵 定义： 性质： 2) 与 等价 存在一系列初等矩阵 使 1.（引理）设 ―矩阵 的左上角元素 且 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定 可以找到一个与 等价的矩阵 ，它的左上 角元素 ，且　 . 四、λ－矩阵的对角化 证：根据 中不能被 除尽的元素所在的 位置，分三种情形来讨论: i) 若在 的第一列中有一个元素 不能被 除尽， 其中余式 ，且 对 作下列初等行变换: 则有 的左上角元素 符合引理的要求， 故 　　为所求的矩阵. ii) 在 的第一行中有一个元素 不能被 除尽，这种情况的证明i)与类似. iii) 　　的第一行与第一列中的元素都可以被 除尽，但 中有另一个元素 被 除尽. 对 作下述初等行变换: 我们设 矩阵　　 的第一行中，有一个元素： 不能被左上角元素 除尽，转为情形 ii) . 证毕. 2.（定理2）任意一个非零的 的 一矩阵 都等价于下列形式的矩阵 其中 是首项系数为1的 多项式，且 称之为 　　的 标准形. 证: 经行列调动之后，可使 的左上角元素 若 不能除尽 的全部元素， 由引理，可以找到与 等价的 ，且 由引理，又可以找到与 　　 等价的 　　 ，且 如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－ 矩阵： 左上角元素 ， 若 还不能除尽 的全部元素， 左上角元素 ， 但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵 它的左上角元素 　，而且可以除尽 的全部元素 　 即 对 作初等变换: 它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 中的全部元素都是可以被 　除尽的， 因为它们都是　 中元素的组合. 如果　 ，则对于 可以重复上述过程， 进而把矩阵化成 其中 与 都是首1多项式(　　　与　 只差一个常数倍数），而且 能除尽 的全部元素. 如此下去， 最后就化成了标准形.