高等代数34矩阵的秩.pptVIP

第四节 * * * 一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义 的秩称为矩阵 A 的行秩； 则矩阵 A 的行向量组 的秩称为矩阵 A 的列秩. 矩阵 A 的列向量组 设 引理 如果齐次线性方程组 （1） 的系数矩阵 的行秩 ，那么它有非零解． （若(1)只有零解，则 ） 定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 证明：设 ，A的行秩＝r，A的列秩＝r1， 下证 ． 先证 ． 则向量组　　　　　 的秩为r， 不妨设 是它的一个极大无关组， 于是 线性无关， 设A的行向量组为 即 （2） 只有零解. 只有零解. 所以方程组 由引理，方程组（2）的系数矩阵 （未知量的个数）. 的行秩 是r个线性无关的行向量， 中一定可以找到 r 个线性无关的向量. 从而在矩阵　 的行向量组 不妨设 则该向量组的延伸组 于是矩阵A的列秩 ． 同理可证 . 所以 ． 也线性无关． A的列向量 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩， 记作秩A 或 　 、 定义 注 ② 设　　　　　，则 若　　　　　则称A为行满秩的；　　 若　　　　　则称A为列满秩的.　　 ① 若　　　，则 二、矩阵秩的有关结论 定理5 设　　　　　 ， 则 (降秩矩阵) (满秩矩阵) 证： 若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， 的 n 个行向量线性相关. 从而A＝0， 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余 行向量线性表出， 依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0. 从而在行列式　 中，用这一行 若 n ＝ 1，由　　　知， 对 n 作数学归纳法. A＝0， 从而 假若对 n－1 级矩阵结论成立，下证 n 级的情形. 设　　　　　 ， 为A的行向量. 考察A的第一列元素: 若它们全为零，则 若它们有一个元素不为零， 不妨设 则　 的第2至 n 行减去第1行的适当倍数后可为 其中 由　　　知， 由归纳假设，矩阵　　　　　　的秩＜n－1， 从而向量组 线性相关， 故在不全为零的数　　　　　使 改写一下，有 线性相关 不全为零的n个数 推论1 齐次线性方程组 有非零解 系数矩阵 的行列式 =0 只有零解