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对任意点　所对应的插值基函数　　，由于在所有 取零值，因此　　含有因子 又因　　是一个次数不超过n次的多项式，故可写成 由　　　，可求得 从而得到n+1个n次插值基函数 于是得到ｎ次拉格朗日插值多项式为 插值多项式的唯一性由如下定理． 定理13-1 满足 的插值多项式是存在唯一的． 例13．2．1 取节点　　　　　　和 对函数　　　分别建立线性插值和二次插值 多项式． 解 (1) 因为 构造点　，　的一次插值基函数 (2) 因为 构造点　，　和　的二次插值基函数 一般地，二次插值要比一次插值来得精确些．但要注 意，并不是插值多项式的次数愈高愈精确，反而随着 插值多项次数的增高，计算量的增大，舍入误差的影 响就会增大．因此，实际计算中常用的是分段线性插 值或分段抛物插值． 例13．2．2 当　　　　　时，　　　　　　求 的二次插值多项式。 解 将值 (1,0),(-1,-3),(2,4)代入二次插值公式,得 曲线拟合的最小二乘法就是要从一大堆看上去杂乱无 章的数据中找出其规律．即设法构造一条曲线（称为 拟合曲线）反映所给数据点总的趋势，并根据使残差 的平方和为最小的原则求出这条拟合曲线．所谓残差 二、曲线拟合的最小二乘法 是指实测值　与按拟合曲线求得的近似值之差． 1．直线拟合 若所给的数据点　　　　　　　　的分布大致成一 直线，这时可设拟合曲线的一般形式为 根据残差的平方和为最小的原则，即要求使总误差 达到最小．由微积分求极值的方法知，使　达到极 值的参数　　应满足 * 高等数学04教学课件下载-样章.ppt 第13章 数值计算初步 13．1 误差与方程求根 13．2 插值方法简介 13．1 ?误差与方程求根 能力目标 1．了解绝对误差、相对误差、有效数字等相关概念. 2．会用二分法、牛顿迭代法求方程的近似根. 讨论方程　　　　　　在[1，2]内的根. 这是一个关于　的5次代数方程，没有求解公式，即 方程没有精确解.但根据闭区间上连续函数的零点定 理，可以确定这个方程在（1，2）内至少有一个实根， 如何找到满足精度要求的近似解，正是要讨论的问题. 一、误差 模型误差：在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽 象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响， 对问题作一些简化.因此数学模型和实际问题有一定的 误差，这种误差称为模型误差． 测量误差：在建模和具体运算过程中所用的数据往往是 通过观察和测量得到的，由于精度的限制，这些数据 一般是近似的，即有误差，这种误差称为测量误差． 截断误差：由于实际运算只能完成有限项或有限步运 算，因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有 限化，对无穷过程进行截断，这样产生的误差称为截 断误差． 舍入误差：在数值计算过程中，由于计算工具的限制， 我们往往对一些数进行四舍五入，只保留前几位数作 为该数的近似值，这种由舍入产生的误差称为舍入误差． 1、绝对误差与相对误差 绝对误差：准确值　与其近似值　之差称为近似数 的绝对误差（简称误差），记为 ,简记为e*．但一般来说，不能准确知道 e(　)的大小，可以通过测量或计算估计其绝对值的上 界．那么　　叫做近似数的绝对误差限，简称误差限。 简记为 例如，若取　　　　为　　　　　　　的近似值，则 于是　　　　　可作为　的绝对误差限。有了绝对误 差限就可以知道准确值　的范围： 绝对误差限并不能完全表示近似值的好坏程度，例如 看上去　的绝对误差限比　的绝对误差限小，似乎 的精度高，其实不然. 相对误差 称　　　　　　　为近似数　的相对误差， 简记为　。如果 　　　　　　　，则称 为近似数　的相对误差限，简记为　。相对误差一般 用百分数来表示。 　　　　的近似值　　　　的相对误差限为 　　　　　的近似值　　　　的相对误差限为 有效数字 若近似值　的绝对误差限不超过其末位数 的半个单位，而该位数字到　的第一位非零数字共有 n位，则称用　近似　时具有n位有效数字． 例13.1.1　若取　　　　为　　　　　　的近似值， ，　具有3位有效数字； 若取　　　　　为　　　　　　的近似值， ，　就有5位有效数字． 例13.1.2 设　　　　　　　　分别是由准确值x和y 经过四舍五入得到的近似值，问 分别是多少？ 解 由于在数值运算中，不可避免地会产生误差，如果知 道产生误差的某些规律，就可在一定程度上控制误差． 一般地，要遵循如下一些原则： 1）要避免相近两数相减，防止有效数字丢失； 2）要防止大数吃掉小数； 3）绝对值相对太小的数不宜作除数； 4）要尽量简