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高等数学(同济第六版)课件第一10闭区间连续函数性质
* 第十节 闭区间上连续函数的性质 定理1(最值定理) 设函数 f(x)闭区间[a,b]上连续, 则 f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值. 即 一、有界性与最大值最小值定理 使得 有 推论(有界性定理) 若 f(x)闭区间[a,b]上连续, 则 f(x)在[a,b]上有界. 注意: 若区间是开区间, 定理不一定成立; 定理2 (零点定理) 且f(a)f(b)0, 则至少存在一点ξ∈(a,b), 使f(ξ)=0 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 二、零点定理与介值定理 例1 证明方程 在区间(0,1)内 证 令 由零点定理, 至少有一个实根。 则f(x)在[0,1]上连续。 使 即 故方程 在区间(0,1)内 至少有一个实根。 例2 设函数 f(x)闭区间[a,b]上连续, 且 f(a)a , 且 f(b)b , 证明至少存在一点ξ∈(a,b),使 f(ξ)=ξ 证 令 由零点定理, 则F(x)在[a,b]上连续。 使 即 定理2 (介值定理) 且f(a)=A, 且f(b)=B, A≠B, 则对于A与B之间的任一个数C， 则至少存在一点ξ∈(a,b), 使f(ξ)=C. B C A a b 证 设 设函数 f(x)闭区间[a,b]上连续, 则 在[a,b]上连续 M C m a b 证：记 f(x1) = M, f(x2) = m, x1, x2∈[a,b], 不妨设x1 x2 推论 设 f(x)在[a,b]上连续, 其最大值为M最小值为m， m C M， 则至少存在一点ξ∈(a,b), 使f(ξ)=C. 则 f(x) 在[x1, x2]上连续， 又f(x2) C f(x1) 至少存在一点ξ∈(x1, x2), 使f(ξ)=C. 故至少存在一点ξ∈(a,b), 使f(ξ)=C. 例3 设 f(x)在[a,b]上连续, a x1 x2 x3 b, 证明在(x1, x3)内至少存在一点ξ，使 证 f(x)在[a,b]上连续, 故在[x1, x3]上连续. 记 f(x)在[x1, x3]的最大值为M最小值为m， * *
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