自动控制原理第二版9章习题及详解.doc

第9章习题及详解 9-1 试分别写出图9-41中所列典型非线性特性的数学描述式。 （a） （b） （c） （d） （e） 图9-41 习题9-1图 解： (a)； (b) ； (c)； (d)； (e) 或者 （e） 当，；当， 9-2 试用解析法求下列系统相轨迹方程的解。 （1） （2） 解： （1）相变量方程为 相轨迹方程的解为 （2）相变量方程为 相轨迹方程的解为 9-3 考虑系统，其中，，试用解析法求该系统的相平面图。` 解：引入相变量和改写为相变量方程 利用相轨迹微分方程解的公式（9-6）在区间上求定积分得 整理得 即 这是一个以原点为中心的椭圆相轨迹，所描述的运动是周期运动，相轨迹为一簇同心椭圆，椭圆的大小与初始状态有关。因，椭圆的长半轴和短半轴的长度分别为和。 9-4 试用解析法求非线性系统的相平面图。 解：由题知相变量方程为 相轨迹方程的解为 可分下面三种情况： 当，相轨迹方程解为 此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线，渐近线为，顶点位置与初始状态相关。 当，相轨迹方程为 此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线，渐近线为，顶点位置与初始状态相关。 当，相平面图为两条直线，即和 整个相平面图如下： 9-5 试用等倾斜线法绘出下列系统的相平面图。 （1） （2） 解： （1）等倾斜线满足方程 等倾斜线法绘出的系统相平面图为 （2）当时，有，故等倾斜线满足方程 注意到是关于的偶函数，相轨迹为轴对称，所以可以在相平面的上半部绘出对应线性系统的相轨迹，然后在相平面的下半部对称绘出相应的相轨迹即可。等倾斜线法绘出的系统相平面图为 9-6 试判断下列系统是否有奇点，确定奇点类型并画出奇点附近的相轨迹。 （1） （2） 解： （1）相变量方程为 故，即为该系统的奇点。在处对进行泰勒级数展开有 即 ，其特征方程为，故特征根为，所以奇点为中心点。奇点附近的相轨迹为 （2）相变量方程为 故，即为该系统的奇点。在处对进行泰勒级数展开有 系统在奇点附近线性化后得，其特征方程为，故特征根为 所以奇点为不稳定焦点。奇点附近的相轨迹为 9-7 描述某运动的微分方程为，试根据奇点的性质绘出系统的相平面图。 解：由于必有，而意味着对于所有，有。因此，意味着在轴上点均为该系统的奇点。下面对于，分别考虑轴上奇点和两种情况。 情况1：对于所有，考虑奇点，用变换将方程在轴上奇点坐标平移到原点，即 在处附近展开泰勒级数 故在处附近有，其特征方程的根为 因此，对于所有，系统的奇点均为中心点。 情况2：对于所有，考虑奇点，用变换将方程在轴上奇点坐标平移到原点，即 在处附近展开泰勒级数 故在处附近有，其特征方程的根为 因此，对于所有，系统的奇点均是鞍点。MATLAB仿真后绘制的相平面图为 9-8 考虑具有继电器非线性的控制系统如图9-42所示，试用分段线性化法求系统在输入信号 作用下的相轨迹。 图9-42 习题9-8图 解：系统非线性特性的数学描述为 可分成两个区段，相平面上的转换线为。设斜坡输入为。当时，有。由线性环节的微分方程为和，可得 区：当时，，相轨迹微分方程为：。定性分析可知：（1）时，相轨迹斜率为零，是一条直线；（2）时，相轨迹垂直通过轴；（3）上半平面，意味着相轨迹斜率为负；（4）下半平面，时相轨迹斜率为正，时相轨迹斜率为负；（5）相轨迹斜率与无关，所有相轨迹都是某一相轨迹水平移动的结果，因此各相轨迹的形状是一样的；（6）令，等倾斜线方程为平行于轴的水平直线，显然，系统在区无奇点。 区：当时，，相轨迹微分方程为： 。由可知，区相轨迹与区相轨迹关于原点对称，系统在区无奇点，区的相平面图可按与区原点对称办法绘出，等倾线方程为平行于轴的水平线。 系统在输入信号 作用下的相轨迹为 9-9 考虑具有饱和非线性的控制系统如图9-43所示，试用分段线性化法求系统在输入信号 作用下的相轨迹。 图9-43 习题9-9图 解：由图可知饱和非线性特性的数学描述为 （1） 可分三个线性化区段，相平面上的转换线为，而线性环节的微分方程为 （2） 不失一般地，设阶跃输入为，其中为常数。当时，有，从而。由式（2）和，此时可得 （3） I区：因，由式（3）得 （4） 相变量方程为 （5） 相轨迹微分方程为 （6） 定性分析可知：（1）时，相轨迹斜率为零，是一条直线；（2）时，相轨迹垂直通过轴；（3），式（6）意味着相轨迹斜率为负；（4）下半平面，时相轨迹斜率