高等数学第四中值定理.pptVIP

本章目录 第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的增减性 第四节 函数的极值 第五节 最大值与最小值，极值的应用问题 第六节 曲线的凹向与拐点 第七节 函数图形的做法 第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数增减性 第四节 函数的极值 第五节 最大值与最小值、极值的应用 第六节 曲线的凹向与拐点 第七节 函数图形的做法 两种特殊情况： （1）若函数在 上单调增加，则 是函数在该区间上 的最小值， 是函数在该区间上的最大值。 若函数在 上单调减少，则 是函数在该区间上 的最大值， 是函数在该区间上的最小值。 （2）若函数在 内有且仅有一个极大值，而没有极小值 则此极大值就是函数在该区间上的最大值。 若函数在 内有且仅有一个极小值，而没有极大值 则此极小值就是函数在该区间上的最小值。 很多求最大值或最小值的实际问题，均属于此种类型． 对这种类型的问题，可以用求极值的方法来解决． 二、极值的应用 例 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一个 大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖 的方盒。问截掉的小正方形边长为多大时所得方盒 的容积最大？ 解：设小正方形的边长为 盒底的边长为 得驻点 对于点 所以体积函数在 取得极大值（最大值） 由此可知，当截去的小正方形的边长等于所给正方形 铁皮边长的 六分之一时，所得方盒容积最大。 例 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能 使所用材料最省？ 解：显然，要材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小 r h 设罐头筒的底半径为r，高为h， 则侧面积： 底面积： 总表面积： 所以 返回本章目录 令 得驻点 因为 所以面积函数在 取得极小值（最小值） 此时相应的高为： 当所做罐头筒的高和底直径相符时，所用材料最省。 在研究函数图形的变化情况时，单调增减性不能完全 反映函数自身的变化规律．考察函数曲线的弯曲方向 以及扭转弯曲方向的点，是很必要的． 定义： 若在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线 的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的，如图a所示； 若在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方， 则称曲线在这个区间内是下凹的，如图b所示。 返回本章目录 在第一章中，已经介绍了函数在区间上的单调性定义，判定一个函数的单调性在应用中有着重要的意义。 这一节将讨论如何用函数的导数判定函数的单调性． 如果可导函数 在 内单调增加，那么曲线 在每一点的切线斜率都是正值， 即切线与 轴正向夹角是锐角，如下图所示 如果可导函数 在 内单调减少，那么曲线 在每一点的切线斜率都是负值， 即切线与 轴正向夹角是钝角，如下图所示 定理 设函数 在开区间 内可导 （1）若对任意的 ，恒有 则函数 在区间 内单调增加 （2）若对任意的 ，恒有 则函数 在区间 内单调减少 证　设 x1，x2 为(a, b)内的任意两点， 且 x1 x2， 则由拉格朗日中值定理有 其中 x ? (a, b). (1)若当 f ?(x) 0， 则 f ?(x) 0， 于是 因为 x2 – x1 0，所以 f (x2) – f (x1) 0，即当 x2 x1时， 有，f (x2) f (x1)，可知 f (x) 在 (a, b)内递增. (2)对于 f ?(x) 0 的情形,其证法与(1)的类似. 确定某个函数的单调性的一般步骤是： (1)确定函数的定义域； (2)求出使 f ?(x) = 0 和 f ?(x) 不存在的点， 并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间； (3)确定 f ?(x) 在各个子区间内的符号， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　从而 判定出 f (x) 的单调性. 例 　求函数 f (x) = x3 - 3x 的单调区间． 解 (1)该函数的定义区间为(? ?, ? ?)； (2) f ?(x) = 3x2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)， 令f ?(x) = 0，得 x = - 1，x = 1， 它们将定义区间分为三个子区间： (? ?, - 1)， (- 1, 1)， (1, ? ?)； (3)因为当 x ? (? ?, - 1)时，f ?(x) 0， x ?(?1, 1)时，f ?(x) 0， x ? (1, + ?)时 f ?(x) 0， 所以(? ?, -1)和(1, ? ?)是 f (x) 的递增区间， (-1, 1)是 f (x) 的递减区间. 　　为简便直观