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课时跟踪检测（十八） 简单的线性规划问题 层级一　学业水平达标 1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　) A．3　　　B．4　　　　C．18　　　　D．40 解析：选C　由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示． 作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18. 2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　) A.z＝20x＋40y B.z＝20x＋40y C.z＝20x＋40y D.z＝40x＋20y 解析：选A　由题意知A正确． 3．已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是(　　) A.　　　　　　　B.∪[6，＋∞) C．(－∞，3][6，＋) D．(3,6] 解析：选A　作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B，A(1,6)，故的取值范围是. 4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为(　　) A．2,4 B．3,3 C．4,2 D．不确定 解析：选B　设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则 求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)． 5．已知若z＝ax＋y的最小值是2，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　作出可行域，如图中阴影部分所示，又z＝ax＋y的最小值为2，若a－2，则(1,0)为最优解，所以a＝2；若a≤－2，则(3,4)为最优解，解得a＝－，舍去，故a＝2. 6．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________． 解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，n－m的最大值为3. 答案：3 7．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________． 解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2. 由 得A(1,2)，所以|AO|2＝5. 答案：5 8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表： a b(万吨) c(百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)， 则 目标函数z＝3x＋6y. 由得记P(1,2)， 画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15. 答案：15 9．若x，y满足约束条件 (1)求目标函数z＝x－y＋的最值； (2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1. z的最大值为1，最小值为－2. (2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1－2，解得－4a2. 故所求a的取值范围为(－4,2)． 10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小． 解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得 所用原料的总面积为z＝3x＋2y， 作出可行域如图． 在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线． 过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)， 最优解为x＝2，y＝1， 使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． 层级二　应试能力达标 1．设变量x，y满足约束