(初三)待定系数法.docVIP

初中数学竞赛辅导资料（初三7） 待定系数法 甲内容提要 多项式恒等的定义：设f(x)　和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的. 符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.　例如： （x+3）2=x2+6x+9, 　　　　　　5x2－6x+1=(5x－1)(x－1), x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7). 都是恒等式. 　根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.　例如： 已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2). 求：①a+b+c ； 　　　②a－b+c. 解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4. 　　　　　②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 　　即 如果 a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an=　b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn 那么 a0=b0 ， a1=b1， 　　…… ， an－1=bn－1 ， an=bn. 上例中又解： ∵ax2+bx+c=2x2－2x－4. ∴a=2, 　b=－2, 　c=－4. ∴a+b+c＝－4，　　 a－b+c＝0. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值. 乙例题 已知： 求：A，B，C的值. 解：去分母，得 x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3). 根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值）， 　　　　　　　当x=0时，　2＝－6A.　　∴A＝－. 当x=3时，　8＝15B.　　　∴B＝. 当x=－2时，　8＝10C.　　　∴C＝. 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）. 把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式. 解：用待定系数法： 设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐）， 得　　　x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a 　　　　+bx2－2bx+b 　　　　　+cx－c 　　　　　+d 用恒等式的性质，比较同类项系数， 得 　　解这个方程组，得 ∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4. 本题也可用换元法：　　 设x－1=y, 　那么x=y+1. 把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x －1. 已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式. 求： a和b的值. 解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2　（设待定的系数，要尽可能少.） 右边展开，合并同类项，得 　4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得 方程组；　 或. 解得. 推导一元三次方程根与系数的关系. 解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,　x2,　x3. 原方程化为x3+. ∵x1,　x2,　x3是方程的三个根. ∴x3+(x－x1) (x－x2) (x－x3). 把右边展开，合并同类项，得 x3+=x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3. 比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是： x1+x2+x3=－，　x1x2+x1x3+x2x3＝，　x1x2x3＝－. 已知：x3+px+q 能被（x－a）2　　整除. 求证：4p3+27q2=0. 证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）. x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b. 　 　由①得b=2a，　代入②和③得　　 　　　　∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2 =4×（－27a6）+27×（4a6）=0.　（证毕）. 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5 的因式. 求：f (1)的值. 解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除. 为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k为正整数). 即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c) 　　　　　　　　14（x2－2