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第四章 无穷集合及其基数习题 1.设为由序列 的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？ 解：因为序列是可以重复的，故 若是由有限个数组成的集合，则是有限的集合若是由无限个数组成的集合，则是可数的。 故本题是至多可数的。 是所有不连续点的集合，是一个单调函数，则对应着一个区间，于是由上题便得到证明。 4.任一可数集的所有有限子集构成的集族是可数集合。 证：设则。 令， ，则是Ａ的子集的特征函数。 ｛0，1的有穷序列｝，若则对应1；若则对应0。就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，10，…，0，1。此序列对应着一个小数，此小数是有理数。于是，可数集的所有有限子集对应着有理数的一个子集。对应的小数也不同，故是单射。而可数集Ａ的所有有限子集是无穷的，故是可数的。且是满射，则只要是可数的，那么是至多可数的； (2)若且是单射，那么只要是可数的，则也是可数的； (3)可数集在任一映射下的像也是可数的； 答案：对，错，错。 7．设Ａ是有限集，Ｂ是可数集，证明是可数的。 证：为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。证明是可数集 证１：设有限字母上所有字（包括空）所形成的集，则是可数的。 Ａ1＝长度为1的字符串 Ａ2＝长度为2的字符串　 Ａn＝长度为n的字符串 　 因为Ａ＝是可数的。显然是无穷的，故是可数的。 证2：不妨假设（令＝也是可以），则可按字典序排序为： 。由于的全部元素可以排成无重复项的无穷序列，故是可数的。 2.4习题 2.找一个初等可数，使得它是到实数的一一对应。 ,或，或 3.试给出一个具体的函数，使得它是从到的一一对应。 证：中包含一个可数子集可数。 ——可数的，故。 令 即为所求。 4.证明：若可数，则不可数。（用对角线方法）。 令利用康托对角线法证明S是不可数集。