(十)排列、组合、二项式定理.docVIP

第十章 排列、组合与概率 分类计数原理和分步计数原理 （1） 分类计数原理： 做一件事，完成它可以有类办法，（是对完成这件事的所有方法的一个分类），在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 说明：分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，即不重复也不遗漏．只有满足这些条件，才能用分类计数原理． （2）分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成个步骤，（是指完成这件事的任何一种方法，都要分成个步骤），做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法． 说明：分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这个步骤后这件事才算完成，只有满足这些条件，才能用分步计数原理． （３）“分类”与“分步”的相同点和不同点 分类计数原理和分步计数原理的共同点是它们完成一件事情，共有多少种不同的方法．区别在于完成一件事情的方式不同：分类计数原理是“分类完成”，即任何一种办法中用任何一个方法都能独立完成这件事；分步计数原理是“分步完成”，即这些方法需要分步骤顺次相依，且每一个步骤都完成了，才能完成这件事情．区分分类还是分步的关键是看经过这个过程，有没有完成整个事情． ２．排列 （１） 排列的概念：从个不同元素中，任取（）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个不同元素的一个排列． 说明：不同元素排列有序性；相同排列：元素相同，顺序相同． （２）排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出个不同元素的排列数，用符号表示． （３）排列数公式：（）． （４）阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．规定． （５）排列数的另一个计算公式：=． ３．组合 （１）组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．说明：不同元素“只取不排”——无序性；相同组合：元素相同． 说明：不同元素“只取不排”——无序性；相同组合：元素相同． （２）组合数的概念：从个不同元素中取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个不同元素的组合数．用符号表示． （３）组合数公式：； 或． （４）组合数的性质1：，规定：； 组合数的性质2：＝+ ． ４．排列与组合的区分 根据排列与组合的定义，前者是从个不同元素中选取个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从个不同元素中选取个不同的元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题．关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关． 排列与组合的共同点，就是都要“从个不同元素中，任取个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是‘“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异．因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关．有顺序的是排列问题，无顺序的则是组合问题．例如123和321，132是不同的排列，但它们都是相同的组合．再如两人互通一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题． ５．解排列、组合应用题的途径与思路 解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）． 具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径： ①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． ②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其地位置． ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数． 排列、组合应用题的解题思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘． ６．解排列、组合混合应用题的基本方法 排列组合综合题的求解，要合理进行分类、分步．基本方法是：先“组”后“排”，即先分类，再分步． 排列组合应用题大致可分为三大类：不带限制条件的排列或组合题；带有约束条件的排列或组合题；排列与组合的综合题．解此类问题常用的方法有： ①相邻元素的排列应用题，一般采用“捆绑法”． ②元素间隔排列应用题，一般采用“插空法”． ③含有特殊元素和特殊位置的排列，组合应用题，常采用“特殊元素法”，从元素为主出发，先安排特