(协方差、相关系数和矩的概念).pptVIP

* * 练习十一 参考答案 二、 三、 一、 41 60 四、 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个 随机变量各自的概率特性以外，相互之间 可能还有某种联系. 问题是用一个什么样 的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系 协方差、相关系数和矩 第十三讲 一、协方差的定义与性质 1、定义 称 为X ,Y 的协方差. 记为 1） 若 ( X ,Y ) 为离散型r.v.，则 2） 若 ( X ,Y ) 为连续型r.v.，则 2、协方差的简单性质 1） 2） 3） Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 特别地 若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 . 二、相关系数的定义与性质 1、定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 2、相关系数的性质 1） 2） 存在a（不为0）及b使P(Y=aX+b)=1 注：1） 的大小是X,Y之间线性关系的一 种度量。 2） 称X,Y不相关，不相关表示X,Y 之间不存在线性关系，但不排除有其他关系。 3） 称X,Y完全线性相关 （详细证明自看,见教材 .） 3） X , Y 线性不相关 X , Y 相互独立 X , Y线性不相关 即由 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例. 例 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 因而 =0， 即X和Y线性不相关 . 但X和Y不独立 . 不难求得， Cov(X,Y)=0， 事实上，X的密度函数 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关 前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 三、有关例题 求 Cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布律为 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P X Y 1 0 1 0 p 0 0 q 例2 设?~ U(0,2?) , X = cos ? , Y = cos( ? +? ), ? 是给定的常数，求 ?XY 解 若 若 有线性关系 若 线性不相关， 但 不独立， 没有线性关系，但有函数关系 例3 设 X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,? 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数， 且都不为零，求?UV 解 由 * *