《平面與圆锥面的截线》教学设计.doc

平面与圆锥面的截线 一、教学目标： 1. 知识与内容： （1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2 （2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1） （3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解 2. 过程与方法： 利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。 3. 情感态度价值观： 通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。 二、教学重点难点 重点：（1）定理2的证明 （2）椭圆准线和离心率的探究 难点：椭圆准线和离心率的探究 三、教学过程 椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如： （1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1； （2）椭圆的定义 （3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0e1)的点的轨迹 （4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆； （5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2 图1 如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。 思考： 如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？ 归纳提升： 定理 在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，其夹角为α，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β（π与平行，记住β＝0），则： （1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆； （2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线； （3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。 问题：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆. 讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1）. 证明1：利用椭圆第一定义，证明 FA+AE=BA+AC=定值，详见课本. 证明2：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/； ②如果平面π与平面π/的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.） 点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准. 拓展：1. 请证明定理2中的结论（2） 2. 探究双曲线的准线和离心率 3. 探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果 四、自我检测练习 1.平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是???????? . 分析：联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况. 答案：平面截球面所得的截线为圆；平面截圆柱面所得的截线为圆或椭圆； 2.判断椭圆、双曲线、抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与1的关系？ 分析：首先通过画图寻找规律，然后加以证明. 答案：略. 五、课外研究材料 材料1. 阅读，和你的同学一起探讨文后的问题： 运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）时，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。 （1）从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，难道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天体运行也遵循着一种统一的规律吗？ （2）邀请你们的物理老师、地理老师，请他们上一节天体运行课，更深入的理解圆锥曲线 材料2. 圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线． 设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥的轴的夹角为． 当截面不过顶点时， （1）当＝α时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线； （2）当α＜＜时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，交线是椭圆．特别地，当＝，即截面和圆锥面的