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排列、组合和二项式定理 1.两个原理. （1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘. （2）一个模型： 影射个数 若A有年n个元素，B有m个元素，则从A到B能建立个不同的影射 ①n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？解：种②四人去争夺三项冠军，有多少种方法？ ③从集合A={1，2，3}到集合B={3，4}的映射f中满足条件f（3）=3的影射个数是多少？④求一个正整数的约数的个数 （3）含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk则S的排列个数等于. 如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 、组合数中. (1)排列数公式 ；。 如（1）1！+2！+3！+…+n！（）的个位数字为 （答：3）； （2）满足的＝ （答：8） (2)组合数公式 ；规定，. 如已知，求 n，m的值（答：m＝n＝2） (3)排列数、组合数的性质： ①； ②； 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合一类是不含红球的选法有） 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. ③ ④；⑤；⑥. (4)常用的证明组合等式方法. ① 裂项求和法. 如：（利用）n.n!=(n+1)!-n! ② 导数法. ③ 数学归纳法. ④倒序求和法. 一般地：已知等差数列{an}的首项a1，公差为d，a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C2a1＋nd)·2n-1．⑤ 递推法（即用递推）如：. ⑥ 构造二项式. 如： 证明：这里构造二项式其中的系数，左边为 ，而右边. 更一般地： 3.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合． 如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：）； （2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）； （3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）； （4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）； （5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）； （6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）； （7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）； （8）是集合到集合的映射，且 ，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足的集合A、B、C共有 组（答：） 3.解排列组合问题的方法有： 一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则. 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。 如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；（2）某