20142014学年第1学期线性代数B期终考试试卷A.docVIP

西南交通大学2007－2008 学年第(一)学期考试试卷 课程代码 2100024 课程名称 线性代数B 考试时间 120 分钟 注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名； 2．请将填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。 一、填空题（每空4分，共24分） 1．设，则= ； 2．设，则 （是/不是）向量空间； 3．已知 3 阶方阵有特征值 -1，1，2= ； 4．设矩阵其中线性无关，且， ，则 的通解为： ； 5．设，则的列向量组的一个最大线性无关组为： ， = 。 二、选择题（每小题4分，共24分） 6．行列式 求=（ ） （A） （B）（C） （D） (A) -1 ； (B) 1 ； (C) - ； (D) 。 均为 阶可逆方阵，下列各式正确的是( )。 (A) ； (B) ； (C) ； (D)。 9．若4阶方阵的行列式等于零，则必有（ ） (A) 中至少有一行向量是其余向量的线性组合 (B) 中每一行向量都是其余行向量的线性组合 (C) 中必有一行为零行 (D) 的行向量组线性无关 10．设为阶方阵，则（ ） (A) 的特征值一定都是实数 (B) 必有个线性无关的特征向量 (C) 可能有+1个线性无关的特征向量 (D) 最多有个互不相同的特征值 11．设非齐次线性方程组 的未知量个数为 ，方程个数为 ，则 在条件( )成立时，一定有解。 (A) 矩阵的列向量组线性无关； (B) 矩阵的列向量组线性相关； (C) 矩阵的行向量组线性无关； (D) 矩阵的行向量组线性相关。 三、计算题（46分） 12、计算行列式 。（6分） 13、设矩阵，矩阵满足，求矩阵。（8分） 14、设向量组 ，向量，问 取何值时 （1）能由惟一表示？（2）不能由线性表示？ （3）能由线性表示但表达式不惟一？ （8分） 15、已知二次型，记 （1）写出该二次型的矩阵； （2）求一个正交矩阵 ，使得 为对角阵； （3）写出该二次型在正交变换 下的标准型，其中； （4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（14分） 16、设，其中，求。（10分） 四、应用题（17、18选做1个）（6分） 17、某地的道路交叉处通常建成单行的小环岛，如图所示，请求出该网络流通解，并找出的最小可能值。（图上箭头为车行进方向，数字为每小时车流量，为所标路段上的车流量） 18、一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C，钙和镁。其中用到了3种食物， 它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出： 营养 单位食物所含营养（mg） 需要的营养总量（mg） 食物1 食物2 食物3 维生素C 10 20 20 100 钙 50 40 10 300 镁 30 10 40 200 请设立合适的变量建立并求解方程确定该食谱。（精确到小数点后1位） 《线性代数B》参考答案及评分标准 一、填空题答案填写处（每空3分）： （1）．1；（2）． 是 （3）． -16 ； （4）． 或 ；（5）．（1）任意三列（2） 3 ；。 二、选择题答案填写处（每题4分）： 1． D ； 2． C ； 3． B ； 4． A ； 5． D ； 6． C 。 三、1、计算。（6分） 解： 注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分； 2、设矩阵，矩阵满足，求矩阵。（8分） 解： 因为 所以 ……………2分 ……………4分 ，，故可逆 ……………6分 ……………8分 注：此题如有其它解法，只要计算过程及结果正确，均可给满分。 3、设向量组 ，向量，问 取何值时 （1）能由惟一表示？（2）不能由线性表示？（3）能由线性表示 但表达式不惟一？ （8分） 方法一：原题等价于的解的存在性问题则 原方程组的系数行列式为： ……2分 （1） 当 D≠0，即 时， 由Cramer法则知道，原方程组有惟一解，故可惟一表示 ……3分 （2）当时， 对方程组的增广矩阵作初等行变换如下： 系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时，方程组无解， 故不能由线性表示