《抽象代數基础》习题解答.doc

《抽象代数基础》 于 延 栋 编 盐城师范学院数学科学学院 二零零九年五月 群 论 §1 代数运算 1.设,上的乘法的乘法表如下: · 证明: 适合结合律. 证明 设为中任意三个元素.为了证明适合结合律,只需证明 . 下面分两种情形来阐明上式成立. I.中至少有一个等于. 当; 当时,; 当时,. II.都不等于. (I).这时,. (II)两两不等.这时,. (III)中有且仅有两个相等. 当时,和是中的两个不同元素,令表示中其余的那个元素.于是,,,从而,.同理可知,当或时,都有. 2.设是集合上一个适合结合律的代数运算.对于中元素,归纳定义为: ,. 证明: . 进而证明:在不改变元素顺序的前提下,中元素的乘积与所加括号无关. 证明 当时,根据定义,对于任意的正整数,等式成立. 假设当()时,对于任意的正整数,等式成立.当时,由于适合结合律,我们有 . 所以,对于任意的正整数和,等式成立. 考察中任意()个元素:当时,要使记号变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是等于. 事实上,当或时,无需加括号,我们的结论自然成立.当时,由于适合结合律,我们的结论成立.假设当()时我们的结论成立.考察的情形:不妨设最后一次运算是,其中为中前()个元素的运算结果,为中后个元素的运算结果.于是,根据归纳假设, , . 所以最终的运算结果为. 3.设是有理数集.对于任意的,令,证明: 是上的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律. 证明 众所周知,对于任意的,.所以是上的一个代数运算.令,,.由于 , , 从而,,所以不适合结合律.由于 , ,. 从而,.所以不适合交换律. §2 群的概念 1.证明: 关于矩阵的加法构成一个群. 证明 首先,众所周知,,,.由于矩阵的加法适合结合律,上的加法适合结合律.其次,令,则,并且,.最后,对于任意的,令,则且.所以关于矩阵的加法构成一个群. 2.令,证明:关于矩阵的乘法构成一个群. 证明 将记作,并将中其余三个矩阵分别记作.于是,上的乘法表如下: · E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E 由于矩阵的乘法适合结合律,上的乘法适合结合律.从乘法表可知, ,,. 所以关于矩阵的乘法构成一个群. 3.在整数集中,令,.证明:关于这样的乘法构成一个群. 证明 对于任意的,我们有 , , 从而.这就是说,该乘法适合结合律.其次,,并且对于任意的,我们有 , . 所以关于该乘法构成一个群. 4.写出的乘法表. 解 ,的乘法表如下: · 5.设是一个群,证明: 适合消去律. 证明 设.若,则 . 同理,若,则.这就表明,适合消去律. 6.在中,令 ,. 求和. 解 我们有 ,,. 7.设,求. 解 我们有. 8.设是任意一个置换,证明:. 证明 事实上,易见,是中的个不同的数字.由直接计算可知, ; . 其次,对于任意的,在之下的像是本身.所以. 9.设是一个非空集合,是上的一个代数运算,若适合结合律,则称是一个半群(或者称关于构成一个半群).证明:整数集关于乘法构成一个半群,但不构成一个群. 证明 众所周知,是非空集合,对于任意的,总有,并且整数乘法适合结合律,所以关于乘法构成一个半群.其次,令.于是,对于任意的,总有 . 但是,,并且不存在,使得.所以关于乘法不构成一个群. 10.设是一个非空集合,是由的所有子集构成的集合.则集合的并是上的一个代数运算.证明:是一个半群. 证明 众所周知,对于任意的,总有 . 这就是说,上的代数运算适合结合律,所以是一个半群. 注 请同学们考虑如下问题:设是一个非空集合,是由的所有子集构成的集合.定义上的代数运算 (称为对称差)如下: ,. 求证:是一个交换群. 11.令.证明关于矩阵的乘法构成一个半群. 证明 众所周知,对于任意的,总有 ,. 这就是说,矩阵的乘法是上的一个代数运算,并且适合结合律,所以关于矩阵的乘法构成一个半群. 12.设是一个半群,称为的一个左(右)单位元,如果对于任意的都有().对于,如果存在使(),则称左(右)可逆的,是的一个左(右)逆元.假设有左(右)单位元且中每个元素都有关于的左(右)逆元.证明:是一个群. 证明 设是中任意一个元素.任取,使得.再任取,使得.于是,我们有 且 . 因此 . 所以 . 由以上两式可知