《數列数学归纳法数列极限》.doc

《数列、数学归纳法、数列极限》 松江四中 朱成兵 第一部分 《 数 列 》 一、知识点： 1等差数列的通项公式： 推广： ； 等比数列的通项公式： 推广： 2等差数列的前项和公式： ， ； 等比数列的前项和公式： ， 3等差数列中，若，则； 等比数列中，若，则 4两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列； 两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列、、 仍为等比数列。 5等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列； 等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 6若为等差数列，则 是等比数列； 若是等比数列，则 是等差数列。 7等差数列中，当时，是关于的一次式：；当时，是一个常数：。 8等差数列前项和公式： 当时，是关于的二次式且常数项为0，即； 当时，是关于的正比例式； 等比数列的前项和公式：当时， 是关于的正比例式。 9等差数列的任意连续项的和构成的数列、、、、……仍为等差数列； 等比数列的任意连续项的和构成的数列、、、、……仍为等比数列。 10数列的通项与前项和的关系： 二、专题复习： 专题一 基本量法 根据等差（比）数列的定义，它由首项和公差（比）所确定，因此首项和公差（比）是等差（比）数列的基本量，解决等差（比）数列的问题可以把问题中的其它量转化为求基本量首项和公差（比），使求解的数列问题转化为求首项和公差（或公比）的等式或不等式问题。 例题1.是等差数列，且，求的值。 解法一：（基本量法） 得 解法二：，又， 而。 注意：在解答等差数列或等比数列的有关问题时，“基本量法”是常用方法，但不一定是最好的方法。不过，对于条件不复杂的问题，“基本量法”是够用的。 专题二 方程思想 在等差数列中，有五个量，它们是项数、首项、通项、公差及前项和。基本公式有三个： ； ；。 在等比数列中，也有五个量，它们是项数、首项、通项、公比及前项和。基本公式也有三个： ； ； 每个公式中含有四个量，一般情况下，在五个量中知道了其中的三个量，通过求代数式的值或解方程、方程组可以求出其他两个量。这种解法称为“知三求二法”，它渗透了方程的思想方法。 例题1.在等比数列中，，，，求和。 解： 专题三 函数思想 由于数列可以看作定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，因此数列和函数之间有着密切的联系，许多数列问题可以用函数的方法来处理，通过研究函数的性质（如函数的单调性、最大值和最小值等）来解决有关的数列问题。 特别地，对于等差数列有： （1）等差数列 （2）等差数列 （3）时，递增；时，为常数列；时，递减。 例题1.在等差数列中，若，且，问数列前多少项之和最大？ 解法一：根据等差数列的性质，公差不为0的等差数列，其前项和是的二次函数（其中常数项为0）。设，因为，故此二次函数对称轴，且由可得，所以。因此，该数列前13项之和最大。 解法二：由得，又，故， 因为，所以该等差数列单调递减且正数项有限， 令，又因为，故。 解法三：由得，又， 故。 这是关于正整数的二次函数且开口向下，所以当时，最大。 解法四：因为，所以 即，则， 所以，而，由于等差数列可以看成是关于正整数的单调函数，所以，因此前13项之和最大。 专题四 类比思想 等差数列与等比数列在定义、通项公式、递推公式以及其他一些相关的性质和解题方法上，都有类比之处。 例题1. 2000年高考第12题 “在等差数列中，若,则有等式： 成立，类似上述性质，相应地：在等比数列中，若则有等式 成立”。 答案： 。 练习：1（1）已知：等差数列的前项和记为，且， 求证：； （2）类比（1），在等比数列中，你能够得出什么结论？并证明你得出来的结论。 解答：（1）证明：在等差数列中，设是其前项的和，因为、、成等差数列，所以， 即。 （2）类比猜测：等比数列的前项积记为，且，，则 证明：在等比数列中，设是其前项的积，因为、、、成等比数列，所以即。 练习：2（1）已知是等差数列，且、， 求证：。 （2）类比猜测正项等比数列{中相应的命题并加以证明。 证明：（1）， == （2）类比猜测：已知为等比数列，且， 且、，则 证明 。 专题五 分类思想 在运用等比数列的前项和公式时，要注意按公比和分类讨论；在已知求时，应先分和两种情况分别运算，然后验证能否统一。 例题1.已知为等比数列，且，求与的值。 解答：（1）当时，，故。 （2）当时， 两式相除得。 综上所述或 练习：已知为等比数列的前项和，且，，求。 答案：76 例题2.已知数列的前项和，则通项= 解答：（1）当时， （2）当且，