2015年四川省预赛试题及答案.docVIP

2010年全国高中数学联赛四川省预赛 ?一、选择题（本题满分40分，每小题5分） 1、已知： 和：．则是的（ ）. A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望是（ ）. A、 B、 C、 D、 3、设正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱与底面所成的角的大小是（ ）. A、 B、 C、 D、 4、已知函数的最小值是0，则非零实数的值是（ ）. A、 B、 C、2 D、4 5、长方体的八个顶点都在球的球面上，其中，，，则经过两点的球面距离是（ ）. A、 B、 C、 D、 6、对任意实数，过函数图象上的点的切线恒过一定点，则点的坐标为（ ）. A、 B、 C、 D、 7、设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是 B、 C、 D、 8、记，则的最小值是（ ）. A、 B、 C、 D、4 二、填空题（本题满分20分，每小题5分） 9、是定义在上的奇函数，且，则 ． 10、实数满足，则的最大值是 ． 11、在数列中，，当时，成等比数列，则 ． 12、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是 ．（用具体数字作答） 三、解答题（本题满分80分，每小题20分） 13、已知函数． （1）试判断函数的奇偶性，并给出证明； （2）求在上的最小值与最大值． 14、已知为抛物线的焦点，M点坐标(4,0)，过点F作的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，的斜率为． （1）求的值； （2）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．，其中为实数． （1）求函数的单调区间； （2）若对一切的实数，有成立，其中为的导函数． 求实数的取值范围． 16、已知是数列的前项的和，对任意的正整数，都有成立，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设 ，若，求实数的取值范围． 解 答 1、C 提示：因为，故是的充要条件．故选C． 2、C 提示：数学期望是：．故选C. 3、A 提示：设顶点在底面的射影是，则为的外心．从而，于是可得．故选A． 4、B 提示：，因为，故 . 当时，，不合题意； 当时， ， 由条件知，解得或0（舍去）．故选B. 5、C 提示：球的半径，在中，，则，从而． 所以，经过两点的球面距离是．故选C． 6、 B 提示：因为，故．于是过的切线方程是：，即，因此切线方程恒过．故选B． 7、D 提示：由题设知∠OPA2=90°，设P(x,y)(x0)，以OA2为直径的圆方程为与椭圆方程联立得．由题设知，要求此方程在(0, a )上有实根．由此得化简得，所以e的取值范围为与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离 ， 当时等号成立．故的最小值为．故选C． 9、0 提示：由条件知，，于是，即是以2为周期的周期函数．所以，．故填0． 10、4 提示：由确定的图形是以四边形及其内部，其中、、、．由线性规划知识知，的最大值是4，当时可取到．故填4． 11、 提示：由条件知当时， ， 从而，于是 ， 所以．于是 . 所以， ． 故填． 12、224 提示：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：，，，，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是 ：．故填224．. 13、（I） ， . 所以，为偶函数． （II） . 因为 ，故，所以，当时，有最小值；当时，有最大值．