《概率統计》作业题参考答案.doc

《概率统计》作业题 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取3个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品不合格．假定每批产品中的次品最多不超过2个，且其中恰有i（i=0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中的次品数 0 1 2 概 率 0.3 0.4 0.3 求（1）一批产品能通过检查的概率； （2）在一批产品能通过检查的条件下，这批产品没有次品的概率．解A={产品能通过检查}，Bi={产品中有i个次品} (i=0,1,2)，则 由全概率公式得 （2）我们要求的概率是 发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“·”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“·”。求： （1）收报台收到信号“·”的概率； （2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。解A={收报台收到信号“·”}，B={发报台发出信号“·”}，则 由全概率公式收报台收到信号“·”的概率 （2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率 两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起。若第一台车床与第二台车床加工的零件数比例为5 : 4，求： （1）任意从这些零件中取出一个恰为合格品的概率； （2）任意从这些零件中取出一个，发现恰为合格品。试问它为第二台车床加工的可能性有多大？ [解 =“?所取的零件由第i台机床加工” (i=1,2), B=“?取出的零件为合格品”; 则 ?? 由全概率公式任意从这些零件中取出一个为合格品的概率 （2）由贝叶斯公式 用甲胎蛋白法普查肝癌，由过去的资料得到灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。又已知广州肝癌发病率为0.02%（1999年数据），即每一万广州人中有两人得肝癌。假设某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？ 设连续随机变量X的概率密度为： ， 求：（1）常数；（2）X落在区间内的概率；（3）的概率密度。解概率密度，故 。 （2）由概率计算公式知，所求概率为 ； （3）随机变量的分布函数 故的 设随机变量的分布函数为 ，。 （1）求常数；(2)? 求；（3）求概率密度。及，得 ， 解得 ； （2） ； （3）随机变量的概率密度。 设二维连续随机变量的联合概率密度为 求：（1）常数；（2）概率； （3）、的边缘概率密度；并判断与是否独立。解概率密度，故 。 （2）由概率计算公式知，所求概率为 ； （3）、的边缘概率密度分别为 显然，故与独立。 设二维随机变量的联合概率密度为 求（1）系数；（2）落在区域 内的概率； （3）的边缘概率密度；并判断与是否独立。解概率密度 故 ； （2）落在区域 内的概率 ； （3）、的边缘概率密度分别为 显然，故与独立。 设随机变量与独立，求： （1）二维随机变量的联合概率密度；（2）概率。解随机变量密度 随机变量密度 随机变量的联合概率密度 （2）概率 。 设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到黑球为止，分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形 计算取球次数的数学期望、方差与标准差.解 设与分别表示情形（1）与（2）的取球次数，则不难知道，的概率分布表为： X 1 2 3 0.0.3 0.1 从而相应的数学期望为 又故 而Y的概率分布为：，，即从而， 设随机变量，求随机变量函数的数学期望与方差.随机变量密度 则函数的数学期望与方差 ； 设二维连续随机变量的联合概率密度为 ， 试求与的协方差。 同理可得。又 故与的协方差 设随机变量，求： （1）；（2）； （3）确定，使得。解 （2） （3）由 得 ，故 设随机变量，求下列概率： （1）；（2）。解 （2） 设随机变量，求随机变量函数的概率密度、数学期望与方差。解的。 显然，当时，； 而当时， 故的概率 （2） 故 某工厂有200台同类型的机器，每台机器工作时需要的电功率为10千瓦。由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求： （1）任一时刻有140至160台机器正在工作的概率； （2） 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.95?解 设事件A表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验表示任一时刻正在工作的机器数，则. （1）De Moivre -L