2015年湖南高考理科数学试题及答案.docVIP

哈尔滨工业大学 硕士学位论文开题报告 题 目： 几类随机微分方程数值解法及稳定性研究 院 （系） 理学院数学系 学 科 概率论与数理统计 导 师 李龙锁 研 究 生 徐春梅 学 号 11S012038 开题报告日期 2012. 06. 08 研究生院培养处制  说 明 一、开题报告应包括下列主要内容： 1．课题来源及研究的目的和意义； 2．国内外在该方向的研究现状及分析； 3．主要研究内容； 4．研究方案及进度安排，预期达到的目标； 5．为完成课题已具备和所需的条件和经费； 6．预计研究过程中可能遇到的困难和问题，以及解决的措施； 7．主要参考文献。 二、对开题报告的要求 1．开题报告的字数应在5000字以上； 2．阅读的主要参考文献应在20篇以上，其中外文资料应不少于三分之一。硕士研究生应在导师的指导下着重查阅近年内发表的中、外文期刊文章。本学科的基础和专业课教材一般不应列为参考资料。 三、开题报告时间应最迟不得超过第三学期的第三周末。 四、如硕士生首次开题报告未通过，需在一个月内再进行一次。若仍不通过，则停止硕士论文工作。 五、此表不够填写时，可另加附页。 六、开题报告进行后，此表同硕士学位论文开题报告评议结果存各系（院）研究生秘书书处，以备研究生院及所属学院进行检查。 论文 题目 几类随机微分方程数值解法与稳定性的研究 （一） 课题来源以及研究的目的和意义 随机微分方程起始于Kolmogorov的分析方法与Feller的半群方法。随着随机微分方程越来越广泛地应用于系统科学、工程控制、生态学等各个方面，对方程本身及其解性态的研究就显得十分重要。目前，对于随机微分方程理论解的研究已有了一些研究成果，根据问题的物理起源和数学特点将随机微分方程分成三类，最简单的一类随机微分方程是只有初始条件是随机的；第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项；第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程。 牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。在工程中，随机性往往是不利的，必须设法减小或消除其影响。而在自然科学中，随机性与非线性结合可起积极的甚至建设性作用，可加以利用。因此，研究非线性随机动力学与控制具有重要理论意义与广泛应用前景。 随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在很长一段时间里，由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在初级阶段。为了构造有效的数值方法，首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。 现在随机微分方程关于数值解的问题是个内容丰富的研究领域，以常微分方程为代表的确定性系统数值解已经到了深入研究的地步和进度，现在好多软件包和工具箱可以用来数值求解，并进行数值模拟．来描述实际现象，他们的解提供了对发生变化时系统如何变化和发展，不同的初始点对系统的解有何影响等问题的解释．虽然人们对应用随机微分方程建立数学模型越来越感兴趣，但是由于随机因素带来的复杂性，在缺乏有效数值算法和计算工具的情况下，仅有模型对解决实际问题是毫无意义的，随着计算机计算能力的飞速提高和数学家们的不懈努力，数值求解和模拟随机微分方程的精度在不断地扩大和提高。 到了1951年，It6发表了著名的论文奠定了随机微分方程的理论基础．此后的半个世纪中，随机微分方程的研究得到了充分的重视，有许多作者研究了随机微分方程的稳定性问题，并渗透到很多研究领域。随机