2015年考研数学线代知识模块六.docVIP

线代预测知识模块六：线性方程组的求解 考点1： 齐次线性方程组解的情况的判定 【参考题目1】已知齐次线性方程组有非零解,则a = ． 【题目出处】线性代数单元测试题a，b卷 【答案】2 【详解】对系数矩阵进行初等行变换,有 可见． 【参考题目2】齐次线性方程组的系数矩阵记为。若存在三阶矩阵使得，则（ ） 且 且 且 且 【题目出处】数三1998年真题 【答案】 【详解】方法1:，，即齐次线性方程组有非零解 又，故，故方程组的基础解系所含向量个数 ,因此方程组最多有两个线性无关的解. 则有，，从而有. 又方程组有非零解，由齐次线性方程组有非零解的充要条件，知. 即 其中，变换：将3行乘以(-1)加到2行,再将3行乘以加到1行;:按1列展开. 得应选 方法2:将代入，有 计算其行列式 由线性方程组有非零解解的充要条件知，方程组只有零解,这与题设有,使，矛盾.因此可排除、. 又,,必有(若,可推得,矛盾)故，排除而选. 考点：齐次线性方程组的基础解系【参考题目】是维非零列向量组,,是的伴随矩阵,已知方程组的基础解系为,则方程组的基础解系为 ( ) 【题目出处】线性代数单元测试题a，b卷 【答案】 【详解】由的基础解系仅含一个解向量知且,所以, 的基础解系应含三个解向量,故排除 又由题设有,即,亦即线性相关,所以排除． 【参考题目】 其中，试讨论为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 【题目出处】数三2002年真题 【详解】方法1：对系数矩阵记为作初等行变换 当时，的同解方程组为 基础解系中含有个（未知数的个数-系数矩阵的秩）线性无关的解向量，取为自由未知量，分别取，，…, 得方程组个线性无关的解 ， 即其基础解系，方程组的全部解为，其中是任意常数. 当时，则 故当且时，，仅有零解 当时，的同解方程组是 基础解系中含有个（未知数的个数-系数矩阵的秩）线性无关的解向量，取为自由未知量，取，得方程组个非零解，即其基础解系，故方程组的全部解为 ，其中是任意常数. 方法2：方程组的系数行列式 故 当且时，，方程组只有零解。 当时，由 方程组的同解方程组为 基础解系中含有个（未知数的个数-系数矩阵的秩）线性无关的解向量，取为自由未知量，分别取，，…, 得方程组个线性无关的解 ， 即其基础解系，方程组的全部解为，其中是任意常数. 当时， ，其同解方程组是 基础解系中含有个（未知数的个数-系数矩阵的秩）线性无关的解向量，取为自由未知量，取，得方程组个非零解，即其基础解系，故方程组的全部解为 ，其中是任意常数. 考点：非齐次线性方程组的解和导出组解之间的关系 【参考题目】是的矩阵，是的基础解系，是的一个解。 1）证明无关； 2）证明的任何一个解都可以由线性表示。证明】1）设存在常数使得 整理得到① 两边同时乘以矩阵，利用得到因为向量所以② 将其代入①得到 因为是的基础解系，所以线性无关，即 代入②得到所以无关。 2）设是的一个解，则是的解，则可以由的基础解系来线性表示，即 的线性无关的解的个数是，由1）知线性无关，所以结论得证。 考点：非齐次线性方程组有解和无解的判定 【参考题目】，问取何值时，此方程组无解，有唯一解或有无穷多解？ 【题目出处】钻石卡小班授课讲义 【详解】 （1）当且时，，有唯一解. （2）当时 有无穷多解.可求得特解. 基础解系为 ，∴通解 （3）当时 这里 故无解. 考点5：非齐次线性方程组的通解 【参考题目7】设, ，，，试讨论当为何值时, (Ⅰ) 不能由线性表示；(Ⅱ) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式。 【题目出处】数三2004年真题 【详解】设有数使得 . (*) 记. 对矩阵施以初等行变换, 有 . (Ⅰ) 当时, 有 . 可知. 故方程组(*)无解, 不能由线性表示. (Ⅱ) 当, 且时, 有 , 方程组(*)有唯一解： , , ． 此时可由唯一地线性表示, 其表示式为 ． (Ⅲ) 当时, 对矩阵施以初等行变换, 有 ， , 方程组(*)有无穷多解，　其全部解为 , , ， 其中为任意常数． 可由线性表示, 但表示式不唯一,　其表示式为 【参考