2015年高三数学(理)一轮复习讲义：102排列与组合(人教A版).docVIP

第2讲　排列与组合 [必威体育精装版考纲] 1．理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题. 知 识 梳 理 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝(n，mN*，且m≤n)．特别地C＝1. 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C. 辨 析 感 悟 1．排列与组合的基本概念、性质 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√) (3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(×) 2．排列与组合的应用 (4)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有A－AA＝72种．(√) (5)(教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A＝168(个)．(×) (6)(2013·北京卷改编)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是4A＝96种．(√) [感悟·提升] 1．一个区别　排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序． 2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．” 学生用书第174页 考点一　排列应用题 【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？ 解　(1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A种排法． 由分步乘法计数原理，有AA＝720种不同排法． (2)先将男生排好，共有A种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A种方法． 故符合条件的排法共有AA＝1 440种不同排法． (3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档及两边有A种排法． 总共有AAA＝960种不同排法． 规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 【训练1】 (1)(2014·济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)． A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! (2)(2013·四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)． A．9 B．10 C．18 D．20 解析　(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种． (2)由于lg a－lg b＝lg(a0，b0)， lg有多少个不同的值，只需看不同值的个数． 从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝18. 答案　(1)C　(2)C 考点二　组合应用题 【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选． 解　(1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(种)． (2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165(种)． (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C·C＋C·C＝825(种)或采用排除法：C－C＝825(种)． (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没