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锐角三角函数与圆综合训练题 例题一 2013?泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA?CB； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长． 分析： （1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论； （2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可； （3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可． 解答： （1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△DBC， ∴=，即CD2=CA?CB； （2）证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD， ∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=90°． 又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°， ∴OD⊥OA． 又∵OA是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （3）解：如图，连接OE． ∵EB、CD均为⊙O的切线， ∴ED=EB，OE⊥DB， ∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠OEB， ∴∠CDA=∠OEB． 而tan∠CDA=， ∴tan∠OEB==， ∵Rt△CDO∽Rt△CBE， ∴===， ∴CD=8， 在Rt△CBE中，设BE=x， ∴（x+8）2=x2+122， 解得x=5． 即BE的长为5． 如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长． （1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点； （2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案； （3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k?（10+5k），解此方程即可求得答案． 解答： （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED为⊙O直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴点F是AD的中点； （2）解：连接DM， 设EF=4k，df=3k， 则ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM， ∴DM===k， ∴ME==k， ∴cos∠AED==； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2=CE?BE， ∴（5k）2=k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD=k=5． 如图，O是△ABC的外接圆，AB为直径，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD． （1）求证：AD=CD； （2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值． 圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．. （1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论； （2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案． （1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OD∥BC， ∴∠AEO=∠ACB=90°， ∴OD⊥AC， ∴=， ∴AD=CD； （2）解：∵AB=10， ∴OA=OD=AB=5， ∵OD∥BC， ∴∠AOE=∠ABC， 在Rt△AEO中，OE=OA?cos∠AOE=OA?cos∠ABC=5×=3， ∴DE=OD=OE=5﹣3=2， ∴AE===4， 在Rt△AED中，tan∠DAE===， ∵∠DBC=∠DAE， ∴tan∠DBC=． ，求OE的长.[中国教育出版*^#@网] 2、如图，AB是0的直径，C是0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且BAC=∠DAC． （1）猜想直线MN与0的位置关系，并说明理由； （2）若CD=6，cos=ACD=，求0的半径． 已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结．（1