2016届高考数学一轮复习教案：94两个平面平行.docVIP

9.4 两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b B.α内有三个不共线点到β的距离相等 C.a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β D.a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β 解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β； B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确. 答案：D 4.a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】 设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α. 剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得. 证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是△BAC的中位线，故ME∥AC，MEα，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE平面α，CFα，∴NE∥α.又ME∩ NE=E，∴平面MNE∥α，而MN平面MNE，∴MN∥平面α. 【例2】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1. 证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD. ∵AA1CC1BB1DD1，且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1， ∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形. 故它们的对应边平行且相等. ∵△ABC≌△A1B1C1，∴A1B1⊥B1C1.同理，AD⊥CD. ∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABC.同理，DD1⊥平面ACD. ∵BB1∥DD1，∴BB1⊥平面ACD. ∴A、B、C、D四点共面. ∴ABCD为正方形. 同理，A1B1C1D1也是正方形. 故ABCD—A1B1C1D1是正方体. 易知A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACD1. 同理，BC1∥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1. 证法二：证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上. 连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影， 由三垂线定理知B1D⊥A1C1， 同理可证B1D⊥BA1， ∴B1D⊥平面A1BC1. 同理可证，B1D⊥平面ACD1， ∴平面A1BC1∥平面ACD1. 思考讨论 证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线. 【例3】 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证： （1）AP⊥MN； （2）平面MNP∥平面A1BD. 证明：（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C. 又B1C∥MN，∴AP⊥MN. （2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD， ∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上， ∴PN∥平面A1BD. 同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N， ∴平面PMN∥平面A1BD. 评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题