2016年平面几何证题方法.docVIP

2012年太原市初中数学竞赛辅导讲座 平面几何证题方法 平面几何证明题是培养和检查学生逻辑思维和推理论证能力的重要途径和手段。要想较好的掌握几何证题方法，首先要熟练掌握课本中的定义、公理、定理及图形的基本性质，其次全面的、联系的综合已知条件，设置合理的辅助线，从而找到证题的思路和方法。 度量关系的证明 1.两条线段相等的证明方法 ①寻找或构造全等三角形，证其为两全等三角形的对应边；②寻找或构造等腰三角形，证其为等腰三角形两腰；③证其为平行四边形中有关相等的线段；④证其为同圆或等圆中有关相等的线段； 例1．已知正方形ABCD中，M是AB上的任意一点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM交∠CBE的平分线于N，求证：MD=MN。 例2．在△ABC中，以AB、AC为一边分别向外作正方形ABGE和ACDF，BC边上的高为AH，过E、F分别作直线AH的垂线，垂足分别为M、N，求证：EM=FN。 练习.如图△ABC和△CDE为正三角形AC与BE交于点M，AD与CE交于点N。求证：（1）AD=BE；（2）CM=CN 2.两角相等的证明方法 ①寻找、构造全等或相似三角形，证其为全等或相似三角形的对应角；②证其为等腰三角形的两底角；③证其为平行线或平行四边形中有关的等角；④证其为圆内有关的等角。 例3．在△ABC中，∠A=900，AB=AC，BD是中线，AE⊥BD于H，交BC于E，连接DE，求证：∠ADB=∠EDC。 例4．已知ABCD为平行四边行，AE=CF交于P，求证：BP平分∠APC 练习.如图，D、C为△ABE的BE边上的两点，BD=DC，AB=BC=CE，求证：∠BAD=∠E。 3．线段与角的不等的证明方法 ①利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；②利用同一三角形中，大边对大角，大角对大边；③利用从直线外一点连结直线上所有各点的线段中，垂线段最短，且斜线长者其射影较长，反之亦然；④利用三角形外角大于不相邻的内角；⑤利用在两个三角形中，若两边对应相等，则其夹角大者第三边大，第三边大者其对角大； 例5．如图，AB=AC，BD=CE，求证：DEBC 例6．已知AD为△ABC的角平分线，AE⊥AD，CE⊥AE于E，求证：△ABC周长△EBC周长。 例7．在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任一点，若PBPC，求证：∠APB∠APC。 练习.在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD（BA+AC）。 4．线段与角的和、差、倍、分的证明方法 这一类问题一般都转化为线段与角的相等的证明。 例8．已知在等边三角形ABC的外接圆上，取BC弧上任一点D，连结AD、BD、CD，求证：AD=BD+CD 例9．在△ABC中，∠C=2∠B，D为BC的中点，AH为高，求证：DH=AC 5．比例问题的证明方法 ①利用相似三角形中有关的比例线段；②利用平行线截割比例线段定理；③利用内、外角平分线定理；④利用圆幂定理。 例10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，求证： 例11．已知四边形ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，作DE⊥AC交AB于E，求证：（1）AD2=AB·AE；（2） 练习．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于点E，交CD于点F，交BC的延长线于点G，求证： AE2=EF·EG 位置关系的证明 1．平行的证明方法 ①利用平行线的判定定理；②利用平行四边形对边平行；③利用三角形中位线定理及梯形中位线定理；④利用平行或垂直于同一直线的两直线平行。 例12．已知AD为△ABC的角平分线，ABAC，在CA的延长线上取点E，使CE=AB，M、N分别为BC、AE中点，求证：MN∥AD。 例13．已知AD、BE、CF为△ABC的高，作DG⊥BE，垂足为G，作DK⊥CF，垂足为K，求证：GK∥FE。 练习．如图，E是正方形ABCD内一点，以AE、BE为边向外作正方形AEFG、BEKH，求证GC∥HA 2．垂直与相切的证明方法 ①利用等腰三角形三线合一；②利用勾股定理的逆定理；③利用直径所对圆周角为直角；④利用切线的性质及判定定理。 例14．在△ABC中，以AB、AC为一边分别向外作正方形ABDE和ACFG，求证：EC⊥BG。 例15．已知△ABC的外心为O，过B、C两点任意作一圆，分别交AB、AC的延长线于E、F，求证：AO⊥EF 例16．已知Rt△ABC，以AC为直径做⊙O交AB于D，E为BC的中点，求证：DE与⊙O相切。 练习．设四边形ABCD中，∠A+∠BCD=180°，AD、BC交于F，AB、DC交于E，∠E、∠F的角平分线交于G，求证FG⊥EG 3．共圆点、共点圆的证明方法