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高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用
平面的法向量
1、定义:如果,那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类(从方向上分),无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量[或,或],在平面内任找两个不共线的向量。由,得且,由此得到关于的方程组,解此方程组即可得到。
方法二:任何一个的一次次方程的图形是平面;反之,任何一个平面的方程是的一次方程。 ,称为平面的一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为的方向,。
(注:1、二阶行列式: ;2、适合右手定则。)
已知,,
试求(1):(2):
Key: (1) ;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中,
求平面AEF的一个法向量。
平面法向量的应用
求空间角
(1)、求线面角:如图2-1,设是平面的法向量,
AB是平面的一条斜线,,则AB与平面
所成的角为:
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)、求面面角:设向量,分别是平面、的法向量,则二面角的平面角为:
(图2-2);
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图2-2中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;在图2-3中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。
求空间距离
(1)、异面直线之间距离:
方法指导:如图2-4,①作直线a、b的方向向量、,
求a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;
②在直线a、b上各取一点A、B,作向量;
③求向量在上的射影d,则异面直线a、b间的距离为
,其中
(2)、点到平面的距离:
方法指导:如图2-5,若点B为平面α外一点,点A
为平面α内任一点,平面的法向量为,则点P到
平面α的距离公式为
(3)、直线与平面间的距离:
方法指导:如图2-6,直线与平面之间的距离:
,其中。是平面的法向量
(4)、平面与平面间的距离:
方法指导:如图2-7,两平行平面之间的距离:
,其中。是平面、的法向量。
证明
(1)、证明线面垂直:在图2-8中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线()。
(2)、证明线面平行:在图2-9中,向是平面的法向量,是直
线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。
(3)、证明面面垂直:在图2-10中,是平面的法向量,是平
面的法向量,证明两平面的法向量垂直()
(4)、证明面面平行:在图2-11中, 向是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量共线()。
三、高考真题新解
1、(2005全国I,18)(本大题满分12分)
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
,,设平面PAD的法向量为
,,设平面PCD的法向量为
,,即平面PAD平面PCD。
,,
,,设平在AMC的法向量为.
又,设平面PCD的法向量为.
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为.
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
如图3-2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
已知AB=AA1=a,BC=a,M是AD的中点。
(Ⅰ)求证:AD∥平面A1BC;
(Ⅱ)求证:平面A1MC⊥平面A1BD1;
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,,设平面A1BC的法向量为
又,,,即AD//平面A1BC.
,,设平面A1MC的法向量为: ,
又,,设平面A1BD1的法向量为: ,
,,即平面A1MC平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又,A点到平面A1MC的距离为:.
用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识
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