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合肥师范学院数学系 高等代数课程论文 矩阵在各种变换下的不变量及其应用 姓 名 XXX; XXX; XXX 学 号 XXXXXXXXX 专 业 数学与应用数学（师范2班） 年 级 2011级 指导教师 李 伟 2012年05月23日 摘 要 矩阵的初等变换、合同变换和相似变换，它们都是高等代数学习中的重要变换，而在每一种变换下的变量或保留的性质，一般是随着变换的升级呈递增趋势，其应用从某种程度上讲也更为广泛。矩阵初等变换是贯穿于高等代数学习中的重要工具，而矩阵的合同变换、相似变换可谓是矩阵初等变换的特殊形式，三者既相互区别，也相互关联，相互渗透。本文就矩阵在各种变换下的不变量及应用作了系统的概括和初步研究，首先，分别论述各种变换的定义，还有矩阵在各种变换下的不变量，以及其应用的方法；其次，论述矩阵初等变换、合同变换、相似变换三种变换之间的联系及异同；最后，论述本文的结论，以及在学习中存在的问题和疑问。 关键词：初等变换 合同变换 相似变换 秩 在高等代数学习的一年中，我认识到数学的奇特和伟大，尤其是其中的矩阵变换，可谓是变幻莫测，十分奇妙，因此，本文首先论述不同变换的定及其不变量，将定义定理应用于题目中，最后论述不同变换的关联性等，本文依照此基本思路而展开。其意义和目的就是使矩阵变换形成一套系统的知识脉络，同时认识到矩阵变换的重要性。 第一节 矩阵初等变换 定义：下面三种变换定义为矩阵初等行变换： 互换两行（记）； 以数k(k0)乘以某一行（记）； 把某一行的k倍加到另一行上（记+k）。 若将上述定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换。初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 应用： 求矩阵的秩 一般格式：将矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵，其中即。 例：求矩阵的秩。 解：由 可知中有2个非零行，所以 确定向量组的线性相关性 一般格式：设向量组为，以为列构成矩阵,对施行初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩，则线性无关，若则线性相关。 例：判定向量组 的线性相关性。 解：设以向量组为列构成矩阵，由 ，可知，故向量组线性相关。 求向量组的秩与极大无关组，以及将其余向量用极大无关组线性表示 一般格式：设向量组，以它们为列构成矩阵，由 ,的非零行的首个元素所 在的列向量对应的中的向量构成一个极大无关组， 其向量的个数即为向量组的秩。 例：求向量组， 的一个极大无关组、秩，以及将其余向量用极大无关组线性表示。 解：设以向量组为列构成矩阵,由 向量组的一个极大无关组为，其秩为4， 且 判断两向量组是否等价 一般格式：已知向量组与，分别以 与为列构成矩阵与矩阵,即 ，令矩阵,对矩阵施行 初等行变换,由可求得若 则向量组与等价，否则，它 们不等价 例：判断向量组和向量组 是否等价。 解：以为列构成矩阵,为列构成矩阵,令,再由 由于,所以向量组与向量组不等价。 求线性方程组的解 一般格式： 齐次线性方程组矩阵,一般步骤： 对系数矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出。若，只有零解；若则有非零解。 对于有非零解时，对a)中所得行阶梯矩阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，以非零行首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余的n-k个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令自由未知量中一个为1，其余全为0，求得的基础解系：。 n-k个解向量的线性组合：为任意常数）就是的通解。 非齐次线性方程组,矩阵，一般步骤： 对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出,若则无解。 若,则有解，对上述所得的行阶梯矩阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若，则有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式。 若，则有无穷多解，对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到的一般解，令所有的自由未知量为0，求得的一个特解。 在的一般解中去掉常数项，就得到导出组的一般解，分别令一个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组的基础解系，则可得通解。 的一个特解加导出组的通解，则可得的通解，即（为任意数）。 例：为何值时，方程组有解，且有解时求出解，其中 解：由增广矩阵