高考数学大一轮总复习51平面向量的概念及其线性运算.docx

§5.1　平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　)(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(　×　)(4)△ABC中，D是BC中点，则＝(＋)．(　√　)(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3答案　D解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)A．2－ B．－＋2C.－ D．－＋答案　A解析　由2＋＝0得2－2＋－＝0，故＝2－.3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．答案　－2解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.4．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.(用a，b表示)答案　－a＋b解析　由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.题型一　平面向量的概念例1　给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．答案　②③解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．　下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．答案　⑤解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，