齐民友高数下册上课第08章03节向量的乘法运算.doc

第3节　向量的乘法运算 3.1　两向量的数量积 设物体在常力的作用下沿直线从点移到点，表示位移向量，在位移方向上的分力大小为，所作的功为： 我们把这种运算规则推广到一般向量如下． 定义3.1 设是两向量，，为向量与的数量积，并记作，即 ． 　　　　　　 (3.1) 向量的数量积也称为（向量的）点积或（向量的）内积． 由此定义，所做的功实际上是力与位移的数量积，． 时,是在向量上的投影,故(3.1)可表示为 类似地,时有． 这表明：．，表示？ （。） 由数量积的定义出发可推得以下结论: (1)； 证　事实上，的夹角， 若向量，,则称向量与正交(或垂直).记作. (2)的充要条件是（垂直条件）； 证　当向量，时,结论显然成立.不妨设，,则 （而） （又）． (3)(交换律)； 事实上， (4)(分配律)； 证　当向量为时,结论显然成立.不妨设为非。根据向量投影的线性性， (5)(数乘向量的结合律) ． 证　当向量，时,结论显然成立.不妨设，。根据向量投影的线性性， 思考题： 2．如果向量与任意向量都正交,则是一个怎样的向量? （零向量。） 3．对于三个标准向量，其中任一向量与另外两者之一的数量积等于何值？（0）又，它与自身的数量积等于何值？（1） 以上是数量积的几何内容。下面把这些内容翻译成坐标表示。 由数量积的性质不难推导出用坐标计算数量积的表示式．设，， ． 　　　 (3.2) （两向量的数量积等于对应坐标乘积加起来）事实上，有 ． 由数量积的定义, 若，，与之间的夹角满足 (3.3) 若， ． (3.4) 显然, 设向量,垂直条件又可以表示为 的充分必要条件是． 【例3.1】 已知三点，，与之间的夹角． ， ， 而　， ， 故 . 【例3.2】 设液体流过平面上面积为的一个区域，，为垂直于的单位向量，所指向一侧的液体的质量 (设液体的密度为常数)． 解　单位时间内流过区域的液体形成一个底面积为，的斜柱体，与之间的夹角(图3.3)．，，在上的投影,故斜柱体的体积为 ， 从而， ． 显然，，垂直于平面时， 【例3.3】 设证明不等式(Cauchy-Schwarz不等式): . 证　设向量,由于,故 将的坐标代入上式即得所要证明的不等式．又,若平行,则上式成为等式． 思考题： 4．试用向量方法证明余弦定理并由此导出向量的数量积的坐标表示式. 证 作如图3.3.1，则.注意到， 3.2 (经)两向量的向量积 我们定义向量的另一种乘法运算． 定义3.2 设向量,,规定向量与的向量积为一新的向量,记作， (1) ， 同时垂直于与,且,,满足右手规则，即右手的四个手指从的正向以不超过的转角转向的正向握拳时，的方向. 向量的向量积又常称作向量的叉积或外积． 不难看出,两向量的向量积有如下的几何意义: ①的模: 即模表示以与为边的平行四边形的面积(图3.5)．的方向:由定义知,与和所确定的平面相垂直. 由定义,容易推得,对任意向量,,有 ；；. 此外,不作证明地给出向量积的如下运算律: 对任意向量,,及任意实数，,； (2) (数乘结合律)； 利用向量积的定义,我们还可得到两向量平行的另一个充分必要条件: 设两向量,，的充分必要条件是．,中有一个为零向量,则命题显然成立.若,均非零向量,由于等价于,即,又,故上式等价于,即或,亦即. 下面导出用坐标计算向量积的表示式： 设，， 注意到,对于标准单位向量,有；；，于是， 　　 (3.5) 引入行列式记号,即有 (3.6) （二阶行列式。懂三阶行列式的同学记住（3.7）简单一些，懂二阶行列式的同学记住（3.6），不懂行列式的同学记住（3.5）。注意足标的排列规律！）或 (3.7) 思考题： 5．试根据向量积的定义及坐标表示式导出两向量,的夹角公式. 6．试给出两向量平行的充分必要条件的坐标表示式,并与第2节中有关结论进行比较. 【例3.4】 设是空间中过点，是空间一点，到直线的距离. 解　作向量.如图3.6所示，点到直线的距离是以为邻边的平行四边形的高.但因为表示该平行四边形的面积,因此 ， ， , ， 故所求距离 ． *【例3.5】 设刚体以等角速度绕轴旋转,计算刚体上点的线速度. 解　刚体旋转时, 可用旋转轴上的向量表示角速度,它的大小,它的方向按右手法则定出:以右手握住轴,当四指的转动方向与刚体的转向一致时,竖起的大拇指的