《鐘表行程问题》的探究性教学设计.doc

钟面上时针与分针之间夹角的计算公式与应用(初一) 钟面上时针与分针之间夹角的计算在新课标教材七年级数学习题中常常出现。我们在教学过程中按探究性教学模式进行教学设计，将钟面角计算转化为钟表行程问题，让同学们通过类似于科学研究的方式“做数学”得到了计算钟面角的公式，使这一问题的解决方法更具一般性和更易于操作。 下面是我们关于《钟面角计算》的探究性教学过程： 教材背景：学习了角的画法，会画一个角等于已知角，会画角的和、差、倍。 创设情景1：如图1，时钟在12点20分时分针、时针成多少度的角？ 图1 图2 分析引导：从图1中抽象出几何图形如图2，时钟在12点时分针与时针重合，设为射线OA，分针、时针绕O点旋转，时钟在12点20分时，时针旋转到OB，分针旋转到OC，此时分针与时针的夹角：∠COB = ∠COA－∠BOA。 时针的速度V时针 = 0.5°／分，分针的速度V分针 = 6°／分，时间t时针= t分针=20分，而路程=速度×时间，所以若将分针与时针之间的夹角看作是分针与时针的距离，则： ∠COA = V分针×t分针 ∠BOA = V时针 ×t时针 ∠COB = V分针×t分针 － V时针 ×t时针 解：设12点20分时分针、时针所成角为α α = V分针× t分针 － V时针 × t时针 = 6°／分×20分－0.5°／分×20分 = 5.5° 创设情景2：如图3，时钟在4点10分时分针、时针成多少度的角？ 图3 图4 同学们很快就画出了图4，找到等量关系：∠COB = ∠BOA－∠COA 解：时钟在4点10分时分针、时针所成角为α α = V时针 × t时针－V分针× t分针 = 0.5°／分×（4×60分＋10分）－6°／分×10分 = 65° 创设情景3：时钟在m点n分时分针、时针成多少度的角？ 经过同学们的热烈讨论，找到了计算时钟在m点n分时分针、时针夹角α的公式： α =∣V时针 × t时针 － V分针× t分针∣ =∣0.5°／分×（m×60分＋n分）－6°／分×n分∣ =∣30°×m ＋ 0.5°×n－6°×n∣ =∣30°×m － 5.5°× n∣ 同学们探究得到这一公式后，所有钟面角计算问题就变的十分容易了。 人教版三年制初中几何第一册（2001年5月第一版）复习题一A组习题12：时钟在8点时分针、时针成多少度的角？8时30分呢？利用上述公式 解：设8点时分针、时针所成角为x，设8点30分时分针、时针所成角为y。 α1 =∣30°×m－5.5°×n∣ =∣30°×8 －5.5°×0∣ = 240° 表示为0°～180°的角： x = 360°－240° = 120° y = 30°×m － 5.5°×n∣ =∣30°×8 － 5.5°×30∣ = 75° 答：时钟在8点时分针、时针成的角为120°，8时30分时分针、时针成的角为75°。 再看几个练习： 1、时钟在12点时时针与分针是重叠的，问时针至少转过多少角度时，时针与分针又重叠了？（精确到1″） 分析：12点后时针与分针第一次重叠一定是在1点到2点之间。 解：设1点n分时分针与时针第一次重叠，则 ∣30°×1－5.5°×n∣= 0° n = 60／11 此时时针转过的角度为： （60分＋n分）×0.5°／分 ≈ 32°43′38″ 答：时钟至少转过32°43′38″时，时针与分针又重叠了。 2、小红傍晚六点钟之后去商场买本，走到商场看到钟表上的时针与分针的夹角是120°，买完本后，走出商场看到钟表上的时针与分针的夹角又是120°，但已近晚上七点钟了，问小红买本用了多少时间？（精确到分） 解：设6点n分时分针与时针第一次重叠，则 ∣30°×6 － 5.5°× n∣= 12 0° 30°×6－5.5°×n = 120°或30°×6－5.5°×n =－120° n = 120／11 或 n = 600／11 买本所用时间为：600／11－120／11 = 480／11 ≈44 答：小红买本用了44分钟。 3、在下午两点与三点之间，钟表的时针与分针何时成直角？ 解：设2点n分时时针与分针成直角，则 ∣30°×2－5.5°× n∣= 90° 30°×2 －5.5°×n = 90°或30°×2－5.5°×n =－90° n1 =－60／11 （不合题意，舍去） n2 = 300／11 答：在下午两点与三点之间，钟表的时针与分针在2点300／11时成直角。 4、从3点15分开始到时针与