cto%yhmm求解排列组合应用题的.docVIP

、 .~ 我们‖打〈败〉了敌人。 　　②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。。 第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数： 第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：. ∴满足条件的排法数为：8×24×3=576. 评注：①由于小女孩最为特殊，故首先照顾小女孩，即从特殊的元素入手； ②小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧； ③由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。 例5．编号为1.2.3……n的n个人，坐到编号为1.2.3……n的n把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为。求，。 解：易见：=0 , ，， ∵n个人坐到n把不同的椅子上的方法数为。其中： 有且仅有n个对号入座的方法数为：1. 有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：. 有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：. 有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：. …………………………………………………… 有且仅有（n-k）个人对号入座的方法数为：. …………………………………………………… 有且仅有1个人对号入座的方法数为：. 有且仅有0个人对号入座的方法数为：. ∴=1++++……++. 令n=4可得：24=1+++=1+6+8+ ∴=9. 令n=5可得：120=1++++=1+10+20+45+，=44. 评注：①给出的问题本身就有点递推数列的“味道”，故选择递推方法解之。 ②在实施递推策略的过程中，注意到问题的反面——至少有一人对号入座的问题已经解决，故又使用了“正难则反”的解题策略。 ③从理论上讲，上述给出的公式已彻底解决了n个元素对n个位置的错位排列问题。 例6：（1993年全国高考题）同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（ ） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 解评：本题可转化为：编号为：1.2.3.4的四个人坐在编号为1.2.3.4的四把椅上，4人都不对号入座的方法数为多少？由例5可知：=9. 故选（B）. 例7：4对夫妻排成一排照相，每对夫妻要排在一起的方法数为多少？ 解：第一步：请每对夫妻各自手拉手（捆）的方法数为：2×2×2×2=16. 第二步：把每对夫妻看成一个人排成一排的方法数为：. ∴满足条件的排法数为：16×24=384. 评注：由于每对夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。 例8．4对夫妻排成前后两排，每排4人，使每对夫妻前后对号的排法有多少种？ 解评：易见本题和例7是同一个问题，故方法数为384. 例９．４对夫妻排成前后两排，每排４人，使每对夫妻前后都不对号的排法有多少种？ 解：第一步：对四对夫妻进行重新组合，建立４个新的临时家庭，使每个家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法数为＝９. 第二步：对四个临时家庭进行排队，由例８解法可知，其方法数为384. ∴满足条件的排法数为：9×384=3456. 评注：本题看似复杂，但利用分步计数原理可以分解为两个小题，事实上本题可以看成是由例6和例8组合并成的。 各写一张贺年卡，先集中起来， 二 知识要点 (一).两个计数原理: 1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+ m2+ m2+…+ mn种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏). 2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1× m2× m2×…× mn种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步). 3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别. (二)排列 1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(有序性是排列的本质). 2.排列数的定义:从n个元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的排列数,用符号表示. 3.排列数公式: (1)当mn时,排列称为选排列,排列数为(必须熟记.) (2)当m=n时,排列称为全排列,排列数为.规定. (3)排列数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大). (4)两个性质:①;②. (三).组合 1.组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关)