《高等數学》应用实例.doc

《高等数学》应用18例 一、椅子能在不平的地面上放稳吗？ 二、磁盘的最大存储量 三、有趣的Fibonacci数列 四、分形几何中的Koch雪花 五、工人上班何时效率最高？ 六、石油的消耗量 七、捕鱼成本的计算 八、飞出火星 九、萃取问题 十、最优化的产出水平 十一、蚂蚁逃跑问题 十二、资金配置问题 十三、家庭教育基金问题 十四、分针与时针重合问题 十五、证明是无理数 十六、湖泊的污染问题 十七、减肥问题 十八、冷却定律和破案 一、椅子能在不平的地面上放稳吗？ 要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设： 椅子的四条腿长度相等，椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线是一个正方形； 地面是一个连续曲面，没有象台阶那样的情况； 地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地； 在以上假设下，问题就是四只脚A、B、C、D能否同时着地？为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系（如图），再以原点为中心旋转椅子，用θ表示旋转的角度，并引入函数f(θ)表示A、C两腿与地面的距离之和，函数g(θ) 表示B、D两腿与地面的距离之和,且不妨假设f(θ)、g(θ)都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地，所以对任何θ，有f(θ)g(θ)=0。于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：是否存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0？回答是肯定的，下面是其证明。 不妨假设开始时f(0)0,g(0)=0，现将椅子旋转900(π/2)，对角线AC与BD互换，由f(0)0,g(0)=0可知f(π/2)=0,g(π/2)0。令h(θ)= f(θ)-g(θ)，则h(0)0，而h(π/2)0，根据连续函数的介值定理知，必存在θ0(0θ0π/2)，使f(θ0)-g(θ0)=0。最后，因为f(θ0)g(θ0)=0，所以f(θ0)=g(θ0)=0。 这种通过对实际问题先作合理的假设，最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。有兴趣的同学可以参考一下这方面的书籍。 思考：若椅子的四脚的连线是一个长方形，如何证明椅子仍能在不平的地面上放稳？ 二、磁盘的最大存储量 计算机使用的软磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区，磁道指不同半径构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单位，存储一位，称为bit。为了保障分辨率，磁道的宽度必须大于ρt，每bit所占用的磁道长度不小于ρb，为了检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的bit数。现有一张半径为R的磁盘，存储区是半径介于r和R之间的环形区域，试确定r，使磁盘具有最大的存储量。 解：由题知，存储量=磁道数×每磁道的bit数，另磁道数最多可达，由于每磁道具有相同的bit数，所以为获得最大的存储量，最内的一条磁道必须装满，即每条磁道上的bit数可达到。于是，总存储量 为求B(r)的最大值，计算 得驻点 故当时磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为。 三、有趣的Fibonacci数列 有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后也每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且无死亡，试问一年后共有小兔几对？ 这是意大利数学家Fibonacci在1202年所著“算法之书”中的一个题目。通过简单的推算，我们不难得到每月末的兔子队数为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，即一年末共有兔子233队。 这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。 若记, 则此数列满足递推关系： 其通项公式为： 这最先是由法国数学家Binet（比内）求出的。Fibonacci数列与自然、社会生活中的许多现象都密切相关，比如蜜蜂的“家谱”图、钢琴音阶的排列、树的分支等都与Fibonacci数列有关。为此，美国还专门出版了一份《Fibonacci数列季刊》，以登载它在应用上的新发现及有关理论。 思考：有一条n阶楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问登上去共有几种走法？ （答案：种） 四、分形几何中的Koch雪花 所谓Koch雪花，它其实是一种通过递归方式生成的几何图形。设有单位边长的正三角形，如图，则其周长为，面积为。 现将每条边三等分，以每条边中间一段为边向外做正三角形，如图，则每条边生成的四条新边的长度之和是原来每条边的长度的倍，同时，生成三个新的三角形，每个的面积为原三角形面积的，故总周长，总面积，依次进行下去，并注意到（1）每一条边生成四条新边，边长变为原来的；（2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，面积是以生成前的边为正三角形的面积的，故得到： ， ，，