IP3的公式推导.docVIP

有关IP 的两个公式推导 内容简介： 在射频系统中，是一个衡量线性度的非常重要的指标，一般教材均给出单个器件或系统的,但给出的物理意义较为抽象，作者在此试图通过简单的理论推导，给出其较为直观的物理意义。并在此基础上，推导出系统与单个器件之间的关系。 IP的物理意义 一般参考资料均给出了的数学定义： （1-1） 为单音信号的功率，为与之差值，图一给出了详细描述。 图一：等幅双音信号及其三阶分量关系图 在测试单个器件（或系统）的时，均是在信号输入端馈入两个频差为ω2-ω1的双音信号，然后根据上图所示：分别测出（或）（注：图中给出的是幅值，其量纲为电压，频谱仪实测值，，，的量纲为功率，其归一化关系分别为；；；）;（或） 代入公式一即可得出其。 现考察（或）与，的关系。 设 (1-2) 现考察的是频率关系，不妨设φ1=0 故有 (1-3) 同理可设： (1-4) 设器件（或系统）的传递函数为f（） 则有: (1-5) 其中 C0，C1，C2，C3，C4 。。。。。均为器件本身决定的常数。由于器件（或系统）的非线性，可认为C0，C1，C2，C3，C4不等于0，从上式可以看出仅有系数为C3的那一项对（或）有贡献，具体分析如下： (1-6) 其中: 对应; 对应 令 (1-7) 综合以上公式推导可得： (1-8) 同理可得： (1-9) 令： (1-10) 则： (1-11) 式（1）给出的是的对数表达式，将其还原为真数表达式可得： = (1-12) 还原为对数表达式可得： (1-13) 至此可得如下结论： (1)任一器件的是由其本身的非线性所决定的一个常数。 (2)具有非常明确的物理意义：它非常简洁地定量地刻画了器件的线性度，与输入信号的大小，器件本身的增益没有任何关系。 二. 系统与单个器件之间的关系 为方便讨论，先以两个器件为例。设两个器件的（输出）分别为和，电压增益分别为，，功率增益分别为，（其归一化关系为；）。结构如下图所示： 图二 信号关系如图三所示： 器件二输出端的信号关系（b） 器件一输出端的信号关系（a） 器件二输出端的信号关系（c） 在器件一的输入端输入两个等幅双音信号，由于其非线性，器件一的输出信号如（a）所示，引用前述结论，可得以下结论： （注： 输出端的信号为，，，，同时也是器件二的输入信号。由于器件二的增益，其输出信号如图（b）所示；又由于器件二的非线性，必然产生新的三阶分量，（如图（c）所示）。同理有如下关系： (2-1) 综上所述，器件二的输出信号构成如下： 等幅双音信号： , 等幅三阶分量： 现定义来描述该两器件系统的线性度，则有： (2-2) 化简可得如下关系： (2-3) 又 (2-4) 代入上式可得： (2-5) 又 上式可改写为： (2-6) 也可化简为： (2-7) 化为对数表达式可得： (2-8) 推广至多级系统不难推出其常见表达式： （） (2-9) B1 B2 A2 A1 2ω1-ω2 2ω2-ω1 ω2 ω1 ω A1=A2 器件一 器件二 G V