一元函數与多元函数的差异与统一.doc

一元函数与多元函数的差异与统一 作者:蔡平梅 指导老师:杨翠 摘要 本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推广到多元函数的方法，具体讨论了在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且较为系统的比较了二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.归纳了一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律. 关键词 极限 连续 微分 积分 统一 差异 1 引言 有关函数的概念，我们已经有了较深刻的认识，首先我们来回顾一下函数的定义：给定两个实数集和，若有对应法则，使对内每一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集上的函数.其中为自变量，为因变量.一元函数就是自变量只有一个的函数，有两个或两个以上的自变量的就叫多元函数. 一元函数是两个数集之间的关系，而多元函数则是有序数组（二元数组，三元数组，……，元数组）的集合与数集之间的函数关系.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了维空间（），是研究问题更加复杂化，研究方法更加多样化. 在研究多元函数的内容时，需要经常与一元函数相关内容做比较，即比较两者之间的差异与统一.由已知一元函数的某些概念、公式引出多元函数的相关内容.在实际中，有时也可以正好相反，可以把多元函数的某些概念、性质应用到一元函数中.而这些都是在两者相互比较中实现的.比如，多元复合函数的偏导数的链法则，就可以应用到一元函数中. 进而在极值、极限、微分、积分等方面就一元函数与多元函数的差异与统一展开详述， 以使得在以后数学分析与高等代数的学习过程中更好的区分这两类函数，才能加深在数学分析与高等代数的学习中对这两类函数的极限、微分、积分等方面性质的理解，掌握以及运用. 目前，关于一元函数与多元函数的差异与统一性的研究都已经取得了较为丰富的结果，然而在大学的《数学分析》或《高等数学》的教材中，只是做了简单的叙述.对于二者的差异与统一问题，我们还要进行具体系统的讨论. 本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推广到多元函数的方法，具体讨论在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且比较二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.进而归纳一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律. 2 一元函数与多元函数的统一性 多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了维空间（），是研究问题更加复杂化.下面我们具体讨论论二者的统一性. 2.1 极限与连续的关系 由多元函数的连续和有极限的定义中我们可以看出，这两个概念都是用多元法给出的.这样，一元函数在点处连续的表达式，就可以换成多元函数在点处的表达式（点和点为多维空间的点），.从而就使得一元函数在一点连续则有极限的结论在多元函数中仍然成立，即“连续有极限”的关系在多元函数中依然成立. 2.2 关于微分 (1)“可微可导” 的关系在多元函数中仍然成立 在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，在点处可微，即有（其中）成立.再由偏导数的定义，我们有如下定理. 定理2.2.1 （可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且. 由上述定理我们很容易发现，“可微可导”的关系在多元函数中也成立. （2）二者可微性之间的关系 多元函数微分学中很重要的一个内容，就是弄清多元函数与一元函数在极限，连续，微分等问题上的关系.关于连续，极限的问题，我们在之前已经讨论过.现在，我们讨论一元函数可微性与多元函数可微性之间的关系.下面以二元函数为代表，再推广到多元函数中去. 定理2.2.2 一元函数，对（某个），在可微（对，在可微），一元函数在可微（在可微）；且（或）在连续，则二元函数在可微. 证明：不妨设在连续.而对，在可微 则有， 可改记为， 则 又在可微，同理 而 则，其中 ，其中 现只需证明 事实上， 显然， 而 在可微 由上述定理我们可以看出，在一定条件下，一元函数与二元函数的可微性是统一的. 接下来我们把定理2.2推广到元函数. 定理2.2.3 一元函数，对，，在可微，对，在可微，……，对，在可微，在可微，在连续，则元函数在可微. 这样，在特定的的条件下，我们就把一元函数与多元函数的可微性统一了. 2.3 二者在极值与极值判别法上的统一 （1）可导函数“极值点必为驻点”均成立 首先，我们看一个关于一元函数的定理. 定理2.3.1 （费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导.若点为的极