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整除性质或定理 　　【最大公约数定理】 　　定理一 如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公约数。 　　证明：由于 b|a，b|b，∴b是a、b的公约数。 　　又由于比b大的数不可能是b的约数，也不可能是a、b的公约数，所以，（a，b）=b。 　　定理二 如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数，就是第二个数与这个余数的最大公约数。即 　　如果 a÷b=q（余r）（r≠0）， 　　那么（a，b）=（b，r）。 　　证明 设p是a、b两数的一个公约数，∴ a÷b=q（余r）， 　　又∵ p|a，p|b， 　　∴p|r（根据“有余除法”的整除性定理--定理五）。 　　因此，a、b两数的公约数，一定是b、r两数的公约数。 　　又因为a、b的公约数与b、r的公约数是完全一致的，所以，它们的最大公约数也完全是一致的。即 　　（a，b）＝（b，r）。 　　（注：定理二是用“辗转相除法”求最大公约数的理论依据。） 　　【最大公约数的性质】最大公约数具有以下一些性质： 　　（1）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。 　　例如，（45，27）=9（此式表示“45和27的最大公约数是9”） 　　45÷9=5，27÷9=3，（5，3）=1， 　　所以，所得的两个商5和3是互质数。 　　（2）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 　　例如，（48，60）=12， 　　12的约数有 1，2，3，4，6，12。 　　1，2，3，4，6，12也都是48和60的公约数。 　　（3）两个数的公约数，都是这两个数的最大公约数的约数。 　　例如，（32，48）=16； 　　32和48的公约数有1，2，4，8，16； 　　1，2，4，8，16也都是16的约数。 　　（4）两个数都乘以一个自然数m，所得的两个积的最大公约数，等于这两个数的最大公约数乘以m的积。这就是 　　如果（a，b）=c，m≠0 　　那么（am，bm）=cm。 　　例如，（24，32）=8， 　　则（24×2，32×2）=8×2， 　　即（48，64）=16 　　（5）若两个数都除以它们的一个公约数m，则所得的两个商的最大公约数，等于这两个数的最大公约数除以m的商。这就是 　　如果（a，b）=c，且m|a，m|b（即m能整除a，m能整除b， 也就是m是a和b的公约数）； 　　 24，32）=8， 　　 　　（1）两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数。 　　例如，[4，6]=12（它表示“4和6的最小公倍数是12），则4与6的其他任何一个公倍数24、36、48……，就都是最小公倍数12的的倍数。 　　（2）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。这就是（a，b）·[a，b]=a·b。 　　例如，（24，32）×[24，32] 　　= 8×96 　　=768 　　而24×32=768， 　　∴（24，32）×[24，32]=24×32 　　【和差整除性定理及推论】 　　定理一 如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除。 　　用字母表达，就是 　　如果ba，ca，且b＞c，那么，（b+c）a，或者（b-c）a。 　　（符号“”是整除符号，如“ba”读做“b能被a整除”，或“a能整除b”。） 　　它也可以表达为 　　如果a|b，a|c，且b＞c，那么a|（b+c），或者a|（b-c）。 　　（符号“|”也是整除符号，但写的前后顺序与“”符号恰好相反。“a|b”读做“a能整除b”，或者读作“b能被a整除”。） 　　例如，123，153，则（12+15）3，或者（15-12）3。 　　改用另一种整除符号“|”表达，就是 　　如果3|12，3|15， 　　那么3|（12+15），3|（15-12）。 　　推论一 如果若干个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除。也就是： 　　如果am，bm，cm，……，dm， 　　那么（a+b+c+……+d）m。 　　或者是： 　　如果m|a，m|b，m|c，……，m|d， 　　那么，m|（a+b+c+……+d） 　　例如，11|22，11|33，11|99，11|121， 　　那么，11|（22+33+99+121）。 　　定理二 如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和（或差）能被这个自然数整除的充分必要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。也就是： 　　如果am，那么（a+b）m的充分必要条件是bm； 　　如果am，那么（a-b）m的充分必要条件是ba。 　　推论二 如果两个数中，一个数能被某一自然数整除，另一个数不能被这个自然数整除，那么，它们的和（或差）也不能被这个自然数整除。也就是：