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第七章 相关和回归 第七章 相关和回归 * Spearman秩相关检验 1 2 3 5 Kendall秩相关系数检验 Theil 非参数回归和几种稳健回归 一、适用范围 Spearman 秩相关系数是最早、最著名评秩统计量,主要用于研究两变量间的相关程度及其显著性检验,其资料要求两变量都至少是以定序尺度测量的。 二、理论依据和方法 1．理论依据： Spearman秩相关系数，用rs代表。是对容量为n的xi和yi的秩(i=1,2,…,n)进行相关性测量。如两变量x与y完全正相关，则应有xi=yi；如完全负相关，应有x1=yn，x2=yn-1，…，xn=y1。Spearman秩相关系数通过di=xi—yi研究总的偏离程度。 第一节 Spearman秩相关 在计算相关系数时，直接研究di是不合适的，因为正的di与负的di相互抵消，因此采用∑di2，当di越大时，∑di2也越大。 rs的计算公式为： (7.1) 当∑di2为0时，rs =1，可认为两个变量完全正相关。rs所量度的是两个等级之间的联系强度，rs处于+1和-1之间。 第一节 Spearman秩相关 2.显著性检验 假设组Ho：X和Y相互独立(X和Y正或负相关) H1：X与Y相互不独立(X与Y负或正相关) 检验rs的显著性,在小样本情况下，即n从4到30时，可查附表13来检验。该表列出了在H0成立时相伴概率分别为 a＝0.05和a＝0.01的rs值。这是一个单尾表适合用于检验单侧假设。即当rs大于或等于表中临界值时，拒绝Ho。 第一节 Spearman秩相关 在大样本情况下，即n≥10时，在零假设成立时得到的rs的显著性可用统计量t来检验： ? t统计量近似服从df=n-2的T 分布。 如n很大时，即n≥30,还可用统计量Z来检验。 近似服从正态分布。 (7.2) 3.耦合修正。 两变量的秩相等即耦合。这时用它们的平均秩作耦合项的秩。 第一节 Spearman秩相关 在耦合现象出现的比例不大时，可以忽略它们对rs的影响；但当其比例较大时， rs用下式来修正： (7.3) 式中, Tx=(t3-t)/12,t等于x变量中同一个秩的耦合数;Ty=(t3-t)/12，t代表y变量中耦合的观察数。 第一节 Spearman秩相关 三、检验步骤 1.据题意，作正确假设； 2.将变量X和Y的观察值分别从1到n评秩，如观察值相同，用平均秩代替。 3.将两样本配对成(xi，yi),xi，yi分别代表两变量的秩。 4.定出di=xi-yi；算出∑di2。 5.如无耦合现象或比例较小时，用公式(7.1)算出rs，如耦合现象比例较大，则用(7.3)公式计算rs 。 6.小样本4≤n≤30时,查附表13;大样本时,N≥30用公式(7.2) 。 第一节 Spearman秩相关 四、例7.1(小样本举例)学习时间长短与学生考试成绩间是否有关。调查某大学10个学生每周学习的时间与期末平均成绩的资料如表7-1所示． 解：假设H0：学习时间X与平均成绩等级Y之间是相互独立的；H1：学习时间X与平均成绩等级Y之间是正相关。根据(9.22)式计算得到: 取a=0.05的显著性水平，样本容量n＝10，查附表13临界值rs(n，a)=0.5515 第一节 Spearman秩相关 表7-1 大学生的学习时间与期末成绩调查表 变量 秩次 di=xi-yi di2 周学习时 期末平均成绩 时间排秩 成绩等级 （x） （y） （xi） （yi） 24 84 6 7.5 -1.5 2.25 17 40 2.5 1 1.5 2.25 20 58 4 4 0 0 41 84 8 7.5 0.5 0.25 52 85 10 9 1 1 23 80 5 5 0 0 46 90 9 10 -1 1 17 55 2.5 3 -0.5 0.25 15 48 1 2 -1 1 29 82 7 6 1 1 合计 9.00 第一节 Spearman秩相关 因为rs=0.946＞0.5515（临界值）故拒绝Ho假设,而接受H1假设，即学生的学习时间与学生的平均成绩等级之间存在着正相关关系。 这里变量x和y中