§矩阵的秩四川师范大学.pptVIP

§3.4 矩阵的秩 ——矩阵的基础理论 一、矩阵的行秩、列秩、秩 问题 引理 如果齐次线性方程组 定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩． 二、方阵的秩与行列式的关系 推论2 三、一般矩阵的秩与行列式的关系 2. 矩阵的秩与行列式的关系 四、矩阵秩的计算 证明过程 * * 矩阵的行秩=矩阵的行向量组的秩； 定义 矩阵的列秩＝矩阵的列向量组的秩． 例如 通过例子我们发现矩阵的行秩与列秩相等。这一点是否是偶然的呢？ 而且我们还应该考虑如果矩阵的行秩与列秩不相等，考虑问题时可能就将非常麻烦! 的系数矩阵A=(aij)sn的行秩 r n，那么它有非零解． 引理的另外一层意思是若齐次方程组(1)只有零解,则方程组的系数矩阵的秩r=n. 分析：运用引理，如果能证明行秩?列秩且行秩?列秩，则问题得证。 证明过程 定义 矩阵A的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作r(A)． 定理5 若A=(aij)n×n，则r(A)n?|A|=0 (r(A)=n?|A|?0 满秩矩阵) 有非零解?系数矩阵A=(aij)nn的行列式|A|=0． 推论1 齐次线性方程组 只有零解?系数矩阵A=(aij)nn的行列式|A| ? 0． 对于n个n维向量?i=(ai1, ai2,…,ain), i=1,2,…,n, 则 ?1, ?2,…,?n线性相关?行列式|aij|n×n=0, ?1, ?2,…,?n线性无关?行列式|aij|n×n ? 0 1. k级子式：在一个s×n矩阵A中任意选定k行k列位于这些行和列的交点上的k2个元素按原来次序所组成的k级行列式，称为A的k级子式． 定理6 矩阵A的秩为r的充分必要条件是A中有一个r级子式不为0, 且所有r+1级子式全为0． 推论1 秩(A)? r?A的所有r+1级子式等于0; 秩(A)? r?A有一个r级子式不等于0． 推论２ r(A)=r,则A不为0的r级子式所在的行(列)正是A的行(列)向量组的一个极大线性无关组； 方法一：定义法：求A的行(列)向量组的秩 方法二：定理法：利用定理6, A中最高阶非０子式的阶数； 方法三：化A为阶梯阵． 证明： 设矩阵为A=(aij)sn ,其行秩为r，列秩为r1，?1,?2,…,?s为行向量组，则由于其秩为r，所以不妨设?1,?2,…,?r为其一个极大线性无关组。因为?1,?2,…,?r线性无关，所以方程x1?1+ x2?2+… +xr?r=0只有零解。即齐次方程组 只有零解,由引理方程组的系数矩阵的行秩?r.