§杨辉三角与二项式系数的性质.docVIP

§1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P32~ P35，找出疑惑之处） 复习1：写出二项式定理的公式： ⑴ 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项. ⑵ 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，的次数规律是 ，各项系数分别是 . 复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：杨辉三角 问题1：在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？ 新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是 探究任务二 二项式系数的性质 问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是. 练习1 ① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 ② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ . 反思：为什么二项式系数有对称性？ ⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 . 当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值； 当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值. 练习：的各二项式系数的最大值是 ⑶ 各二项式系数的和： 在展开式中，若，则可得到 即 ※ 典型例题 例1求的展开式中系数最大的项． 变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项. 小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的. 例2 证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 变式：⑴ 化简: ; ⑵ 求和：. 小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法. ※ 动手试试 练习1： ① 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可） ② 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （同上） 练习2：若， 则 ， . 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 二项式系数的三个性质 2. 数学方法 ： 赋值法和递推法 ※ 知识拓展 早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在的展开式中，系数最大的项是第 项； 2. 在的展开式中，二项式系数最大的是第 项，项系数最小的项是第 项； 3. 计算=