《状元之路》届高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练.docVIP

时间：45分钟　 分值：75分 1．(本小题15分)(2013·山东烟台二模)设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意nN*，Sn是a和an的等差中项． (1)证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)证明＋＋…＋2. 解　(1)由已知得，2Sn＝a＋an，且an0， 当n＝1时，2a1＝a＋a1，解得a1＝1(a1＝0舍去)； 当n≥2时，有2Sn－1＝a＋an－1. 于是2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1， 即2an＝a－a＋an－an－1. 于是a－a＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1. 因为an＋an－10，所以an－an－1＝1(n≥2)． 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列． 所以数列{an}的通项公式为an＝n. (2)证明：因为an＝n，则Sn＝， ＝＝2， 所以＋＋…＋ ＝2＝22. 2．(本小题15分)(2013·福建福州二模)已知椭圆C1：＋＝1(ab0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3－的直线l恰好与圆C2相切． (1)求椭圆C1的离心率； (2)若·的最大值为49，求椭圆C1的方程． 解　(1)由题意可知直线l的方程为bx＋cy－(3－)c＝0，因为直线l与圆C2：x2＋(y－3)2＝1相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝. (2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则＋＝1(c0)，又·＝(＋)·(＋)＝－＝x2＋(y－3)2－1＝－(y＋3)2＋2c2＋17(－c≤y≤c)． 当c≥3时，(·)max＝17＋2c2＝49， 解得c＝4，此时椭圆方程为＋＝1； 当0c3时，(·)max＝－(－c＋3)2＋17＋2c2＝49，解得c＝±5－3但c＝－5－30，且c＝5－33，故舍去． 综上所述，椭圆C1的方程为＋＝1. 3．(本小题15分)(2013·湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2.l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l. (1)若k10，k20，证明：·2p2； (2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程． 解　(1)由题意，抛物线E的焦点为F， 直线l1的方程为y＝k1x＋. 由得x2－2pk1x－p2＝0. 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p. 所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)． 同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)． 于是·＝p2(k1k2＋kk)． 由题设，k1＋k2＝2，k10，k20，k1≠k2，所以0k1k22＝1. 故·p2(1＋12)＝2p2. (2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋， 所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p. 故圆M的方程为(x－pk1)2＋2＝(pk＋p)2， 化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0. 同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0. 于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0. 又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0. 因为p0，所以点M到直线l的距离 d＝＝ ＝. 故当k1＝－时，d取最小值. 由题设，＝，解得p＝8. 故所求的抛物线E的方程为x2＝16y. 4．(本小题15分)(2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－1＋(aR，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值； (3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值． 解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－. 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴， 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e. (2)f′(x)＝1－， 当a≤0时，f′(x)0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值． 当a0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a. x(－∞，ln a)，f′(x)0，x(ln a，＋∞)，f′(x)0， f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当