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《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： （此习题答案仅供学员作业时参考。因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址： yangwq@nudt.edu.cn） 第一章习题（P26） 1．略 2．在R4中，求向量a＝[1,2,1,1]T,在基 a1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T, a2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。 解：其坐标为：x＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵，在基 ，，，下的坐标。 解：其坐标为：x＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R2×2中，矩阵 ，，，线性无关。 证明：设 k1B1+ k2B2+ k3B3+ k4B4=，只要证明k1= k2 = k3= k4 =0即可。余略。 5．已知R4中的两组基： 和 求由基到基的过渡矩阵，并求向量在基的坐标。 解：基到基的过渡矩阵是： 向量在基的坐标是： 6．设R[x]n是所有次数小于n的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n－1在基{1，(x－1)，(x－1)2，(x－1)3，….，(x－1)n－1}的坐标。 解：所求的坐标是：（3，）T 7．已知， 求V1＝的和与交的基和维数。 解：V1＋V2的一组基为，所以维数为3 V1∩V2的一组基是：，所以维数为1。 8．设T是n维线性空间V上的一个线性变换，对某个∈V，有Tk－1（）≠0， Tk（）＝0。试证：线性无关。 证明：设………………（*） 下证即可。 对（*）两边的向量作线性变换：Tk－1，根据Tk－1（）≠0，Tk（）＝0，得到 由此（*）变为 …………….. （**） 对（**）两边作线性变换：Tk－2，根据Tk－1（）≠0，Tk（）＝0，得到 依次进行，得到，即线性无关。 9．设n维线性空间V上线性变换T，使对V中任何非零向量都有Tn－1（）≠0， Tn（）＝0。求T在某一基下的矩阵表示。 解：任取V中一非零向量，因Tn－1（）≠0， Tn（）＝0，所以由第8题的结果，有 是V中的一组基。则T在此基下的矩阵： 10．设T是线性空间R3的线性变换，它在R3中基下的矩阵表示是： A＝ 求T在基下的矩阵表示。 解：T在基下的矩阵表示是： B＝ 11．设T在基下的矩阵表示是： A＝ 求T在基下的矩阵表示。 求T的核和值域。 求T的特征值和特征向量。 解：（1）T在基下的矩阵表示是： B＝ （2）核空间N（T）＝{(0,0,0)T} 值域 R（T）＝R3。 （3）特征值为： 对应的特征向量是： 12．求矩阵A的列空间R（A）＝{y∈R3|y＝Ax，x∈R3}和核空间N（A）＝{x∈R3|Ax＝0}。其中： （1）A＝ （2）A＝ 解：（1）列空间为R（A）＝， 核空间为N（A）＝ （2） 列空间为R（A）＝， 核空间为N（A）＝ 13．设V是一线性空间。是V的一组基 ，线性变换T在基在的矩阵B分别如下，求T的特征值和特征向量，并判断T是否可对角化。 （1）, (2) ,（3），（4） 解：（1）特征值为： 特征向量是： 不可对角化 （2）特征值为： 特征向量是： 可对角化 （3）特征值为： 特征向量是： 可对角化 （4）特征值为： 特征向量是： 略 可对角化 14．略 15．设欧氏空间P2（t）中的内积为 （1）求基{1，t，t2}的度量矩阵。 （2）采用矩阵形式计算f（t）＝1－t＋t2与g（t）＝1－4t－5t2的内积。 （3）用Schmidt正交化方法求P2（t）的标准正交基。 解： （1） 所以度量矩阵为 （2） （3）  所以标准正交基是：