【三维设计】届高考数学一轮复习(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的概念及其线性运算教学案.docVIP

【三维设计】届高考数学一轮复习(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的概念及其线性运算教学案.doc

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【三维设计】届高考数学一轮复习(基础知识高频考点解题训练)平面向量的概念及其线性运算教学案

第一节平面向量的概念及其线性运算 [知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. 2.零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于1个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 三、向量的数乘运算及其几何意义 1.定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0. 2.运算律:设λ,μ是两个实数,则: ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λ a+μ a;③λ(a+b)=λa+λb. 四、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. [小题能否全取] 1.下列命题正确的是(  ) A.不平行的向量一定不相等 B.平面内的单位向量有且仅有一个 C.a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向相同的向量 D.若a与b平行,则b与a方向相同或相反 解析:选A 对于B,单位向量不是仅有一个,故B错;对于C,a与c的方向也可能相反,故C错;对于D,若b=0,则b的方向是任意的,故D错,综上可知选A. 2.如右图所示,向量a-b等于(  ) A.-4e1-2e2   B.-2e1-4e2 C.e1-3e2    D.3e1-e2 解析:选C 由题图可得a-b==e1-3e2. 3.(教材习题改编)设a,b为不共线向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则下列关系式中正确的是(  ) A.=         B.=2 C.=- D.=-2 解析:选B =++=a+2b+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)=2. 4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=________. 解析:|-+|=|++|=||=2. 答案:2 5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________. 解析:由题意知a+λb=k[-(b-3a)], 所以解得 答案:-   共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所 在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 向量的有关概念 典题导入 [例1] 给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; ③若a与b同向,且|a||b|,则ab; ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中假命题的个数为(  ) A.1            B.2 C.3 D.4 [自主解答] ①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线. ②正确.∵=,∴||=||且∥. 又∵A,B,C,D是不共线的四点, ∴四边形ABCD是平行四边形. 反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB綊DC且与方向相同,因此=. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线. [答案] C 由题悟法 1.平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法. 2.几个重要结论 (1)向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性; (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量; (3)向量平行与起点的位置无关. 以题试法 1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,

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