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9.2《排列与组合》错误解题分析 一、知识导学 1、排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。 2、全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列。 3、排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数。用符号表示。 4、 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示。规定：0！＝1 5、组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合。 6、组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数。用符号表示。 7、本节公式 　（1）排列数公式　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ） 　（2）组合数公式 　　 （这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ） （3）组合数的两个性质 　　　　规定： 二、疑难知识导析 1、排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同。 2、排列与排列数是两个不同的概念。一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数。 3、排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题。常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题。 解排列应用题时应注意以下几点： ①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法。 ②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置。考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考。 ③恰当分类，合理分步。 ④在分析题意，画框图来处理，比较直观。在解应用时，应充分运用。 解排列应用题的基本思路： ①基本思路： 直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数； 间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数。 ②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等。 4、对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合。当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合。 5、排列与组合的区别与联系： ①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题。也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关。 ②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异。因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题。例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合。再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题。 ③排列数与组合数的联系。求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，可以分为以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数；第二步，求每一个组合中ｍ个元素的全排列数。根据分步计数原理，得到＝。从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系。从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略。 6、解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题。界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题。当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答。其次要搞清需要分类，还是需要分步。分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终。学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础。切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）。 三、