【浙江专用(理)】【步步高】届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】专题四数列的综合应用.docVIP

专题四　数列的综合应用 1．等比数列与等差数列比较表 不同点 相同点等差数列 (1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系； 等比数列 (1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值 (2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定 2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等． 3． 解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 4． 数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系． 1． 在等比数列{an}中，an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________． 答案　5 解析　设首项为a1，公比为q，则a10，q0， a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aq4＋2aq6＋aq8＝aq4(1＋q2)2＝25.∴a1q2(1＋q2)＝5， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5. 2． 已知等差数列的公差d0，前n项和记为Sn，满足S200，S210，则当n＝________时，Sn达到最大值． 答案　10 解析　∵S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)0， S21＝21a110，∴a100，a110， ∴n＝10时，Sn最大． 3． 设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6，若a3，a5，am (m5)是公比为q (q0)的等比数列，则m的值为________． 答案　11 解析　由题意，得a3＝6－2d， 因为q＝＝，所以3－d＝； 因为q大于零，所以3－d是大于零的整数，q＝. 由题意知，数列{an}各项均为整数，故d，q均应为整数．当3－d3,3－d∈Z时，q不为整数，故3－d只能取1,3.当3－d＝3时，d＝0，不满足条件；故3－d＝1，此时d＝2，q＝3，满足条件．所以q＝3，d＝2，因此6×3＝am＝6＋(m－5)×2，所以m＝11. 4． 设数列{an}是公差大于0的等差数列，a3，a5分别是方程x2－14x＋45＝0的两个实根．则数列{an}的通项公式是an＝____________；若bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝____________. 答案　2n－1　2－ 解析　因为方程x2－14x＋45＝0的两个根分别为5、9，所以由题意可知a3＝5，a5＝9，所以d＝2， 所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.∵bn＝＝n·， ∴Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n·① ∴Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n·② ①－②得，Tn＝＋＋＋…＋＋－n·＝1－，所以Tn＝2－. 5． 等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 答案　C 解析　f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8. 因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212. 题型一　等差数列与等比数列的综合应用 例1　在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项an； (2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列． 审题视角　第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明． (1)解　由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程组解得 ∴an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. (2)证明　由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋