一道三角问题的解法赏析.docVIP

一道三角问题的解法赏析 438200 湖北省浠水县实验高级中学 李四清 数学问题总是从不同的层面刻画和描述知求关系。当我们从一个方面揭示问题时，希望从另一方面得到合理的解释和回应，以期达到共鸣的效果。针对下面数学问题，笔者就经过了探索“和谐共存”的心路历程，愿与同行共享。 题目：已知、是关于的方程的两个相异实根，试求的值。 一 转化途径行得通 方程方法属正宗 分析与简解： 要求和。 又已知： ① 结合② 联立①、②消去得到： （I） 是关于的方程（I）的两根，，同理消去， 得到： （II）又是关于的方程（II）的两根，于是。 评注：（1）这是一种典型的化归思想，深刻的背景是将关于的二元一次方程及隐含的二元二次方程联立化为最熟悉、常见和便于使用的一元二次方程（I）和（II），然后运用韦达定理解之。（2）这可能正是命题者编制的解法意图，也见诸于大部分教师的教案和学生练习。 二、妙用公式过难关 隐密关系内中含 ① 分析与简解：依题意 ② ①—②得到 即 又 于是：。 评注：（1）此方法平淡使用方程根的含义，核心是运用和差化积和万能公式求解，“”的作用也初见端倪。（2）顺便指出的是还可求得： 等，这可谓是解法的一个“附产品”。 三、数形结合显直观 特殊情况发笔端 分析与简解：联想是关于的二元一次方程，于是可以看成是直线与单位圆的两个交点，线段AB的垂直平分线与单位圆的交点（如图1），这样就是角的终边。一方面的坐标。另一方面易求得方程： ，联立得到 ，于是 图1 图2 评注：（1）调整字母位置是顺应：“角的终边与单位圆的交点坐标是（）”这一始终不变的结论。（2）确定的位置重温和强化了相关角终边关系的认识。（3）当与终边重合，“理解为”是方程唯一实根时，直线与单位圆相切，A、B退化为一点P（如图2）由点到直线的距离公式（或—的判别式）可求得常数a、b、c满足，此时的终边是仍有， 四、辅助函数出奇招 暴露症结析本源 分析与简解：方程即是，自然想到化为“同一名称三角函数”的形式： 其中在同一直角坐标系中分别作三角函数）及的图象（如图3） 图3 不妨设，由图中交点位置，不免要进行分类讨论 （1）当满足（是图中） （），即时，。 （II）当满足 时，除了知晓外，笔者苦苦寻觅找不出求 值的办法来，至此，怀疑题目的确存在问题。 评注：（1）通过作出函数图象，我们更清晰方程根的分布情况：即的交点关系。（2）最大收获发现了条件的不足，应更改为：。事实上，在先前二的解法过程中已应验了这一点：。（3）作为特例，当时，方程变为 。此时，不仅没有的限制，而且只能是。（4）有鉴于此，笔者建议题目改编为“已知是关于的方程的两根，且，，试求的值”。则澄清了混乱，免去了纠缠。 纵观这道题以上的分析解答和评注过程，基本上涉及到了传统和经典的数学思想方法： 转化和化归思想，函数和方程思想，数形结合思想，分类讨论与整合思想。方法一称得上“通性通法”，强烈的转化意识和方程方法跃然纸上。可惜的是对条件破绽“浑然不觉，”包括能求什么，如等也“茫然无知”。方法二巧用三角公式回避了这一貌似必然使用的条件，可见繁复多变的三角公式在处理扑朔迷离的数量关系中具有多大的调节功能！但却“前途未卜”，多亏了“约去”公因子才侥幸产生了之值，其中过程也看不出必然得到结论的把握。方法三是方法—“形”的体现，优点在于直观，“割线”到“切线”质变瞬间，让我们探寻到这一特款，不过要用到解几相关知识。方法四看似拙劣，亮点是坦露了条件的瘕疵。通晓了两根应满足的条件——挖出间隔一个的根，尤其是在题目被修缮之后，其优越性一目了然。 玉不琢不成器，题不练（炼）不成经（典）[精髓]。一道编制或印刷上出了纰漏的问题，在条件的辨析推敲上，花去了我许多宝贵的时间，颇费踌躇的反复琢磨却引导我们寻找知求关系和谐一致的途径，探求真理和光明的方法。 1